Grad nedir Test 2

Bir akışkanın hız potansiyeli φ(x,y) = x² - y² olarak veriliyor. (2,1) noktasındaki hız vektörü aşağıdakilerden hangisidir? (Not: v = ∇φ)

A) (4, -2)
B) (2, -1)
C) (-4, 2)
D) (-2, 1)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir akışkanın hız potansiyeli fonksiyonu verilmiş ve belirli bir noktadaki hız vektörünü bulmamız isteniyor. Hız potansiyeli ve hız vektörü arasındaki ilişkiyi kullanarak bu soruyu adım adım çözelim.

• 1. Hız Potansiyeli ve Hız Vektörü İlişkisini Anlama:

  Soruda bize hız vektörünün ($\mathbf{v}$) hız potansiyelinin ($\phi$) gradyanı ($\nabla\phi$) olduğunu belirten bir ipucu verilmiş: $\mathbf{v} = \nabla\phi$. İki boyutlu bir sistemde, yani $x$ ve $y$ koordinatlarına bağlı bir $\phi(x,y)$ fonksiyonu için gradyan, fonksiyonun $x$ ve $y$'ye göre kısmi türevlerinden oluşan bir vektördür. Matematiksel olarak bu şu şekilde ifade edilir:

  $\mathbf{v}(x,y) = \left(\frac{\partial\phi}{\partial x}, \frac{\partial\phi}{\partial y}\right)$

• 2. Hız Potansiyeli Fonksiyonunu Belirleme:

  Bize verilen hız potansiyeli fonksiyonu şudur:

  $\phi(x,y) = x^2 - y^2$

• 3. Kısmi Türevleri Hesaplama:

  Şimdi $\phi(x,y)$ fonksiyonunun $x$'e ve $y$'ye göre kısmi türevlerini hesaplayalım:

  • $x$'e göre kısmi türev ($\frac{\partial\phi}{\partial x}$):

    Bu türevi alırken $y$'yi sabit bir sayı gibi düşünürüz. Fonksiyonumuz $x^2 - y^2$ olduğuna göre:

    $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 - y^2) = \frac{\partial}{\partial x}(x^2) - \frac{\partial}{\partial x}(y^2)$

    $x^2$'nin $x$'e göre türevi $2x$'tir. $y^2$ ise $x$'ten bağımsız olduğu için $x$'e göre türevi $0$'dır.

    Yani, $\frac{\partial\phi}{\partial x} = 2x - 0 = 2x$

  • $y$'ye göre kısmi türev ($\frac{\partial\phi}{\partial y}$):

    Bu türevi alırken $x$'i sabit bir sayı gibi düşünürüz. Fonksiyonumuz $x^2 - y^2$ olduğuna göre:

    $\frac{\partial}{\partial y}(x^2 - y^2) = \frac{\partial}{\partial y}(x^2) - \frac{\partial}{\partial y}(y^2)$

    $x^2$ ise $y$'den bağımsız olduğu için $y$'ye göre türevi $0$'dır. $-y^2$'nin $y$'ye göre türevi $-2y$'dir.

    Yani, $\frac{\partial\phi}{\partial y} = 0 - 2y = -2y$

• 4. Hız Vektörü İfadesini Oluşturma:

  Şimdi bulduğumuz kısmi türevleri kullanarak hız vektörü $\mathbf{v}(x,y)$ ifadesini yazabiliriz:

  $\mathbf{v}(x,y) = (2x, -2y)$

• 5. Belirtilen Noktadaki Hız Vektörünü Hesaplama:

  Soruda bizden $(2,1)$ noktasındaki hız vektörünü bulmamız isteniyor. Bu, $x=2$ ve $y=1$ değerlerini hız vektörü ifademize yerine koymamız gerektiği anlamına gelir:

  $\mathbf{v}(2,1) = (2 \cdot 2, -2 \cdot 1)$

  $\mathbf{v}(2,1) = (4, -2)$

• 6. Sonucu Seçeneklerle Karşılaştırma:

  Bulduğumuz hız vektörü $(4, -2)$'dir. Seçeneklere baktığımızda bu değerin A seçeneği ile eşleştiğini görüyoruz.

Cevap A seçeneğidir.