D = {x | x ∈ N ve x asal sayı} kümesinin özelliği nedir?
A) Sonlu kümedir çünkü sonlu sayıda asal sayı vardır
B) Sonsuz kümedir çünkü sonsuz sayıda asal sayı vardır
C) Boş kümedir
D) Eleman sayısı 100'dür
Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım inceleyelim ve $D$ kümesinin özelliğini birlikte keşfedelim.
-
Adım 1: Kümenin Tanımını Anlayalım
Bize verilen küme $D = \{x | x \in N \text{ ve } x \text{ asal sayı}\}$ şeklindedir.
- Bu tanım, $D$ kümesinin elemanlarının $x$ olduğunu söyler.
- $x \in N$ ifadesi, $x$'in bir doğal sayı olduğunu belirtir. Doğal sayılar kümesi $N = \{1, 2, 3, 4, ...\}$ şeklinde başlar.
- "$x$ asal sayı" ifadesi ise, $x$'in asal sayı olma özelliğine sahip olduğunu gösterir. Asal sayılar, $1$'den büyük olan ve $1$ ile kendisinden başka hiçbir pozitif tam sayıya bölünemeyen sayılardır.
Özetle, $D$ kümesi tüm doğal asal sayılardan oluşur.
-
Adım 2: Kümenin Bazı Elemanlarını Belirleyelim
Asal sayıları hatırlayalım ve $D$ kümesinin ilk birkaç elemanını yazalım:
- En küçük asal sayı $2$'dir. ($1$ asal sayı değildir.)
- Sonraki asal sayılar $3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...$ şeklinde devam eder.
Yani $D = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...\}$ şeklindedir.
-
Adım 3: Asal Sayıların Özelliğini Düşünelim
Şimdi asıl soruya geliyoruz: Bu liste bir yerde biter mi, yoksa sonsuza kadar devam eder mi?
- Matematikte, Öklid'den bu yana bilinen önemli bir teorem vardır: Asal sayılar kümesi sonsuzdur. Yani, ne kadar büyük bir asal sayı bulursanız bulun, ondan daha büyük başka bir asal sayı mutlaka vardır. Asal sayıların sonu yoktur.
-
Adım 4: Kümenin Özelliğini Belirleyelim
Madem ki asal sayılar sonsuz sayıdadır ve $D$ kümesi de tüm asal sayılardan oluşmaktadır, o zaman $D$ kümesinin de sonsuz sayıda elemanı olması gerekir.
-
Adım 5: Seçenekleri Değerlendirelim
- A) Sonlu kümedir çünkü sonlu sayıda asal sayı vardır: Bu ifade yanlıştır, çünkü asal sayılar sonsuzdur.
- B) Sonsuz kümedir çünkü sonsuz sayıda asal sayı vardır: Bu ifade, yukarıdaki analizimizle tamamen uyumludur.
- C) Boş kümedir: Bu ifade yanlıştır, çünkü $D$ kümesinin elemanları vardır (örneğin $2, 3, 5$).
- D) Eleman sayısı 100'dür: Bu ifade yanlıştır, çünkü asal sayılar sonsuz sayıdadır, sadece 100 tane değildir.
Bu adımları takip ettiğimizde, $D$ kümesinin sonsuz bir küme olduğu sonucuna varırız.
Cevap B seçeneğidir.
