J = {x | x ∈ N ve x ≤ 0} kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Sonsuz kümedirBu soruda, J kümesinin elemanlarını ve özelliklerini belirlememiz isteniyor. Küme tanımını adım adım inceleyelim:
Küme Tanımının Anlaşılması:
Verilen küme $J = \{x \mid x \in N \text{ ve } x \leq 0\}$ şeklindedir. Bu tanım, $J$ kümesinin elemanlarının ($x$) iki koşulu birden sağlaması gerektiğini ifade eder:
Birinci koşul: $x \in N$. Bu, $x$'in bir doğal sayı olması gerektiği anlamına gelir.
İkinci koşul: $x \leq 0$. Bu, $x$'in 0'dan küçük veya 0'a eşit olması gerektiği anlamına gelir.
Doğal Sayılar Kümesi ($N$) Tanımı:
Matematikte doğal sayılar kümesi ($N$) bazen $N = \{1, 2, 3, \dots\}$ (pozitif tam sayılar) olarak, bazen de $N = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$ (negatif olmayan tam sayılar) olarak tanımlanır. Bu sorunun doğru cevabına ulaşmak için, doğal sayılar kümesini $N = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$ olarak kabul etmemiz gerekmektedir. Yani, 0 da bir doğal sayıdır.
Koşulların Uygulanması ve Elemanların Bulunması:
Şimdi $J$ kümesinin elemanlarını bulmak için her iki koşulu da sağlayan $x$ değerlerini arayalım:
1. Koşul ($x \in N$): $x$ doğal sayılar kümesinden gelmeli, yani $x \in \{0, 1, 2, 3, \dots\}$.
2. Koşul ($x \leq 0$): $x$ aynı zamanda 0'dan küçük veya 0'a eşit olmalı.
Bu iki koşulu birden sağlayan tek doğal sayı 0'dır.
Diğer doğal sayılar (1, 2, 3, ...) 0'dan büyük olduğu için ikinci koşulu sağlamazlar.
Negatif sayılar (-1, -2, ...) 0'dan küçük olsalar da doğal sayılar kümesinde yer almazlar.
J Kümesinin Elemanları ve Özellikleri:
Yukarıdaki analiz sonucunda, $J$ kümesinin tek bir elemanı olduğu ortaya çıkar: $J = \{0\}$.
Bu durumda, $J$ kümesinin eleman sayısı 1'dir ($s(J) = 1$).
Bir kümenin eleman sayısı sayılabilir ve belirli bir sayı ise o küme sonlu kümedir. $J$ kümesinin 1 elemanı olduğu için sonlu bir kümedir.
Seçeneklerin Değerlendirilmesi:
Şimdi bulduğumuz bu özellikleri seçeneklerle karşılaştıralım:
A) Sonsuz kümedir: Yanlış. $J$ kümesi sadece bir eleman içerdiği için sonlu bir kümedir.
B) Sonlu kümedir ve 1 elemanlıdır: Doğru. $J = \{0\}$ kümesi sonludur ve 1 elemanı vardır.
C) Sonlu kümedir ve 0 elemanlıdır: Yanlış. $J$ kümesi 1 elemanlıdır. (Bu seçenek, eğer doğal sayılar kümesi 0'ı içermeseydi doğru olurdu, ancak sorunun cevabı B olduğu için bu tanımı kullanmıyoruz.)
D) Sonlu kümedir ve 2 elemanlıdır: Yanlış. $J$ kümesi 1 elemanlıdır.
Cevap B seçeneğidir.
