Bu tür üslü ve köklü ifadeleri içeren işlemlerde, genellikle sayıları en küçük tabanlarına indirgemek ve köklü ifadeleri üslü ifadelere dönüştürmek işimizi kolaylaştırır. Adım adım ilerleyelim:
- İlk ifadeyi basitleştirelim: $ \sqrt[3]{8^2} $
- Öncelikle, $8$ sayısını $2$'nin kuvveti olarak yazalım: $8 = 2^3$.
- Şimdi bu değeri köklü ifadenin içine yerleştirelim: $ \sqrt[3]{(2^3)^2} $.
- Üslü sayılarda kuvvetin kuvveti kuralını uygulayalım: $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $. Bu durumda $ (2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 $.
- İfademiz $ \sqrt[3]{2^6} $ haline geldi.
- Köklü bir ifadeyi üslü ifadeye çevirme kuralını hatırlayalım: $ \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} $.
- Bu kuralı uygulayarak $ \sqrt[3]{2^6} = 2^{6/3} = 2^2 $ elde ederiz.
- $2^2$ işleminin sonucu $4$'tür. Yani, ilk ifadenin değeri $4$'tür.
- İkinci ifadeyi basitleştirelim: $ \sqrt{16^3} $
- Öncelikle, $16$ sayısını $2$'nin kuvveti olarak yazalım: $16 = 2^4$.
- Şimdi bu değeri köklü ifadenin içine yerleştirelim: $ \sqrt{(2^4)^3} $.
- Yine kuvvetin kuvveti kuralını uygulayalım: $ (2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12} $.
- İfademiz $ \sqrt{2^{12}} $ haline geldi. Karekökün derecesi $2$'dir, yani $ \sqrt[2]{2^{12}} $ demektir.
- Köklü ifadeyi üslü ifadeye çevirme kuralını uygulayalım: $ \sqrt[2]{2^{12}} = 2^{12/2} = 2^6 $.
- $2^6$ işleminin sonucu $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$'tür. Yani, ikinci ifadenin değeri $64$'tür.
- Son olarak, her iki ifadenin sonuçlarını çarpalım:
- İlk ifadenin sonucu $4$ idi.
- İkinci ifadenin sonucu $64$ idi.
- Çarpma işlemi: $ 4 \cdot 64 $.
- $4 \cdot 64 = 256$.
Böylece, işlemin sonucunu $256$ olarak buluruz.
Cevap D seçeneğidir.
