\( \int_{-1}^1 x^3 \, dx \) integralinin değeri kaçtır?
A) -1Sevgili öğrenciler, bu soruda belirli bir integralin değerini hesaplamamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu integralin değerini bulalım.
Bize verilen integral $ \int_{-1}^1 x^3 \, dx $ şeklindedir. Bu, $-1$'den $1$'e kadar $x^3$ fonksiyonunun belirli integralidir.
İntegral alacağımız fonksiyon $f(x) = x^3$'tür. Bir fonksiyonun tek mi çift mi olduğunu anlamak için $f(-x)$ değerine bakarız:
Eğer $f(-x) = f(x)$ ise fonksiyon çifttir.
Eğer $f(-x) = -f(x)$ ise fonksiyon tektir.
Bizim durumumuzda, $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$'tir. Bu durumda, $f(x) = x^3$ bir tek fonksiyondur.
Belirli integrallerin önemli bir özelliğine göre, eğer bir tek fonksiyonun integrali, simetrik sınırlar arasında (yani $ -a $'dan $ a $'ya) alınırsa, integralin değeri her zaman $0$ olur. Bizim sınırlarımız da $ -1 $'den $ 1 $'e, yani simetriktir ($a=1$).
Bu özellik sayesinde, $ \int_{-1}^1 x^3 \, dx = 0 $ olduğunu doğrudan söyleyebiliriz.
Eğer tek fonksiyon özelliğini hatırlamasaydık veya emin olamasaydık, integrali doğrudan da hesaplayabilirdik. Bunun için önce belirsiz integrali alıp, sonra sınırları yerine koyarız.
a. Belirsiz İntegrali Bulalım:
$ \int x^3 \, dx $ integralini almak için kuvvet kuralını kullanırız: $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $.
Burada $n=3$ olduğu için, $ \int x^3 \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C $ olur. Belirli integral hesaplarken $C$ sabitini yazmamıza gerek yoktur.
Yani, $x^3$'ün ilkel fonksiyonu (antiderivative) $F(x) = \frac{x^4}{4}$'tür.
b. Sınırları Yerine Koyalım:
Belirli integralin değeri, ilkel fonksiyonun üst sınırdaki değerinden alt sınırdaki değerinin çıkarılmasıyla bulunur: $ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $.
Bizim integralimiz için $a=-1$ ve $b=1$ olduğundan:
$ \int_{-1}^1 x^3 \, dx = F(1) - F(-1) $
$ F(1) = \frac{(1)^4}{4} = \frac{1}{4} $
$ F(-1) = \frac{(-1)^4}{4} = \frac{1}{4} $
Şimdi bu değerleri çıkaralım:
$ \int_{-1}^1 x^3 \, dx = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0 $
Her iki yöntemle de integralin değerini $0$ olarak bulduk.
Bu durumda, integralin değeri $0$'dır.
Cevap B seçeneğidir.
