6. sınıf matematik tam sayıları sayı doğrusunda gösterme soru çözümü Test 1

Sayı doğrusunda -12 ile 18 arasındaki tam sayılar işaretlenmiştir. Bu sayı doğrusunda -12'ye olan uzaklığı, 18'e olan uzaklığının 2 katı olan kaç farklı tam sayı vardır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problem, sayı doğrusu üzerindeki uzaklık kavramını ve mutlak değer denklemlerini anlama becerimizi ölçüyor. Adım adım ilerleyerek bu soruyu birlikte çözelim.

• 1. Adım: Problemi Anlama ve Değişken Tanımlama

  Öncelikle, aradığımız tam sayıya bir isim verelim. Bu tam sayıya $x$ diyelim. Problemde bizden, $x$'in -12'ye olan uzaklığının, 18'e olan uzaklığının 2 katı olmasını sağlayan kaç farklı tam sayı olduğunu bulmamız isteniyor.

  Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık, bu noktaların farkının mutlak değeriyle bulunur. Örneğin, $a$ ve $b$ sayıları arasındaki uzaklık $|a - b|$ olarak ifade edilir.

• 2. Adım: Matematiksel Denklemi Kurma

  Şimdi verilen bilgileri matematiksel bir denkleme dönüştürelim:

  • $x$'in -12'ye olan uzaklığı: $|x - (-12)| = |x + 12|$
  • $x$'in 18'e olan uzaklığı: $|x - 18|$

  Problemde verilen koşul, $x$'in -12'ye olan uzaklığının, $x$'in 18'e olan uzaklığının 2 katı olmasıdır. Bu durumu denklem olarak yazarsak:

  $|x + 12| = 2 \cdot |x - 18|$

• 3. Adım: Mutlak Değer Denklemini Çözme

  Mutlak değer denklemlerini çözerken, mutlak değerin içindeki ifadenin hem pozitif hem de negatif durumlarını göz önünde bulundururuz. Genel olarak, $|A| = k|B|$ şeklindeki bir denklem için iki durum vardır: $A = kB$ veya $A = -kB$.

  • Durum 1: Mutlak değerlerin içindeki ifadeler aynı işaretliymiş gibi davranırız (veya $x+12 = 2(x-18)$).

    $x + 12 = 2(x - 18)$

    $x + 12 = 2x - 36$

    $12 + 36 = 2x - x$

    $48 = x$

    Bu durumda bulduğumuz ilk tam sayı $x = 48$'dir.

  • Durum 2: Mutlak değerlerin içindeki ifadeler zıt işaretliymiş gibi davranırız (veya $x+12 = -2(x-18)$).

    $x + 12 = -2(x - 18)$

    $x + 12 = -2x + 36$

    $x + 2x = 36 - 12$

    $3x = 24$

    $x = 8$

    Bu durumda bulduğumuz ikinci tam sayı $x = 8$'dir.

• 4. Adım: Çözümleri Kontrol Etme

  Bulduğumuz $x=48$ ve $x=8$ değerlerinin her ikisi de birer tam sayıdır. Problemde "Sayı doğrusunda -12 ile 18 arasındaki tam sayılar işaretlenmiştir" ifadesi, -12 ve 18 noktalarının referans alındığı bir sayı doğrusundan bahsetmektedir. Bu ifade, aradığımız $x$ tam sayısının mutlaka -12 ile 18 arasında olması gerektiği anlamına gelmez; daha çok, -12 ve 18 noktalarının problem için önemli referans noktaları olduğunu belirtir. Eğer aradığımız sayıların bu aralıkta olması istenseydi, genellikle "Bu aralıktaki tam sayılardan kaç tanesi..." gibi daha açık bir ifade kullanılırdı. Dolayısıyla, bulduğumuz her iki tam sayı da geçerli çözümlerdir.

  • $x=48$ için: $|48+12| = |60| = 60$. $2 \cdot |48-18| = 2 \cdot |30| = 2 \cdot 30 = 60$. Eşitlik sağlanır.
  • $x=8$ için: $|8+12| = |20| = 20$. $2 \cdot |8-18| = 2 \cdot |-10| = 2 \cdot 10 = 20$. Eşitlik sağlanır.
• 5. Adım: Sonucu Belirleme

  Yukarıdaki adımları tamamladığımızda, verilen koşulu sağlayan iki farklı tam sayı bulduk: $8$ ve $48$.

Cevap B seçeneğidir.