Üçgende diklik merkezi nedir Test 2

Dar açılı bir ABC üçgeninde diklik merkezi H'dir. m(∠BAC) = 50° ve m(∠ABC) = 70° olduğuna göre, m(∠BHC) kaç derecedir?

A) 110
B) 120
C) 130
D) 140

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir dar açılı üçgende diklik merkezinin oluşturduğu açıyı bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• 1. Üçgenin Açılarını Anlayalım:

  Bize bir ABC üçgeni verilmiş ve bu üçgenin dar açılı olduğu belirtilmiş. Dar açılı üçgenlerde diklik merkezi (H) üçgenin iç bölgesinde yer alır. Verilen açılar:

  • $m(\angle BAC) = 50^\circ$
  • $m(\angle ABC) = 70^\circ$

  Üçgenin iç açılarının toplamı $180^\circ$ olduğundan, üçüncü açıyı da bulabiliriz:

  $m(\angle ACB) = 180^\circ - (m(\angle BAC) + m(\angle ABC))$

  $m(\angle ACB) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ)$

  $m(\angle ACB) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

  Bu bilgi, soruyu çözmek için doğrudan gerekli olmasa da, üçgenin tüm açılarını bilmek her zaman iyi bir başlangıçtır.

• 2. Diklik Merkezini ve Yükseklikleri Çizelim:

  Diklik merkezi (H), bir üçgenin yüksekliklerinin kesişim noktasıdır. Yükseklikler, bir köşeden karşı kenara indirilen dikmelerdir.

  • B köşesinden AC kenarına indirilen yüksekliğin ayağına D diyelim. Yani, $BD \perp AC$. Bu durumda $m(\angle BDA) = 90^\circ$ ve $m(\angle BDC) = 90^\circ$.
  • C köşesinden AB kenarına indirilen yüksekliğin ayağına E diyelim. Yani, $CE \perp AB$. Bu durumda $m(\angle CEA) = 90^\circ$ ve $m(\angle CEB) = 90^\circ$.

  H noktası, BD ve CE yüksekliklerinin kesişim noktasıdır.

• 3. İlgili Dörtgeni İnceleyelim:

  Şimdi dikkatimizi A, E, H ve D noktalarının oluşturduğu AEHD dörtgenine çevirelim. Bu dörtgenin iç açılarını inceleyelim:

  • $m(\angle AEH) = 90^\circ$ (Çünkü CE, AB'ye diktir).
  • $m(\angle ADH) = 90^\circ$ (Çünkü BD, AC'ye diktir).
  • $m(\angle EAD)$ açısı, aslında $m(\angle BAC)$ açısıdır ve bize $50^\circ$ olarak verilmiştir.
  • Aradığımız açıya yakın olan $m(\angle EHD)$ açısıdır.

  Bir dörtgenin iç açılarının toplamı $360^\circ$'dir. Bu kuralı AEHD dörtgenine uygulayalım:

  $m(\angle EAD) + m(\angle AEH) + m(\angle EHD) + m(\angle ADH) = 360^\circ$

  $50^\circ + 90^\circ + m(\angle EHD) + 90^\circ = 360^\circ$

  $230^\circ + m(\angle EHD) = 360^\circ$

  $m(\angle EHD) = 360^\circ - 230^\circ = 130^\circ$

• 4. Düşey Açılar İlişkisini Kullanalım:

  Şekilde, $m(\angle EHD)$ açısı ile $m(\angle BHC)$ açısı düşey (ters) açılardır. Düşey açılar birbirine eşittir.

  Bu nedenle, $m(\angle BHC) = m(\angle EHD)$

  $m(\angle BHC) = 130^\circ$

• Özetle:

  Dar açılı bir üçgende, diklik merkezinde oluşan bir açı ile bu açının karşısındaki köşe açısı birbirini $180^\circ$'ye tamamlar. Yani, $m(\angle BHC) + m(\angle BAC) = 180^\circ$ genel bir kuraldır.

  $m(\angle BHC) + 50^\circ = 180^\circ$

  $m(\angle BHC) = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$

Cevap C seçeneğidir.