TYT deneme sınavı çöz

\( a \) ve \( b \) birer pozitif tam sayı olmak üzere,
\( EBOB(a, b) = 6 \)
\( EKOK(a, b) = 90 \)
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, \( a + b \) toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

💡 İki sayının çarpımı EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir. Bu kuralı ve verilen koşulları kullanacağız.

• ➡️ Bilinen kural: \( a \times b = EBOB(a, b) \times EKOK(a, b) \). Buna göre: \( a \times b = 6 \times 90 = 540 \).
• ➡️ Ayrıca, \( EBOB(a, b) = 6 \) olduğundan, bu iki sayı 6'nın katıdır. \( a = 6m \), \( b = 6n \) yazabiliriz. Burada \( m \) ve \( n \) aralarında asal pozitif tam sayılardır.
• ➡️ \( a \times b = 36 \times m \times n = 540 \) → \( m \times n = \frac{540}{36} = 15 \).
• ➡️ \( m \) ve \( n \) aralarında asal ve çarpımları 15 olacak. (m, n) ikilileri: (1, 15) ve (3, 5) olabilir (sıra önemsiz).
• ➡️ Bu ikililere karşılık gelen (a, b) ikilileri:
  - (m=1, n=15) için: \( a=6, b=90 \) → \( a+b=96 \)
  - (m=3, n=5) için: \( a=18, b=30 \) → \( a+b=48 \)
• ➡️ Toplamın en küçük değeri için 48'i seçeriz. (18 ve 30 aralarında asal değil ama EBOB'ları 6, EKOK'ları \( \frac{18 \times 30}{6} = 90 \) olduğu için şartı sağlar.)

✅ Sonuç: \( a + b \) toplamının alabileceği en küçük değer 48'dir.