Soru:
\( a \) ve \( b \) birer pozitif tam sayı olmak üzere, \( a \times b = 54 \) ve \( \text{OBEB}(a, b) = 3 \) olduğuna göre, \( a + b \) toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm:
💡 OBEB'leri 3 olduğuna göre, sayılar \( a = 3x \) ve \( b = 3y \) şeklinde yazılabilir. Burada \( x \) ve \( y \) aralarında asaldır.
- ➡️ \( a \times b = 54 \) → \( 3x \times 3y = 54 \) → \( 9xy = 54 \) → \( xy = 6 \).
- ➡️ \( x \) ve \( y \) aralarında asal ve çarpımları 6 olan pozitif tam sayılardır. Olası \((x, y)\) çiftleri: (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1).
- ➡️ Bu çiftlere karşılık gelen \((a, b)\) değerlerini bulalım:
- (1, 6) için: \( a=3, b=18 \) → \( a+b=21 \)
- (2, 3) için: \( a=6, b=9 \) → \( a+b=15 \)
- (3, 2) için: \( a=9, b=6 \) → \( a+b=15 \)
- (6, 1) için: \( a=18, b=3 \) → \( a+b=21 \)
- ➡️ Toplamlar 15 ve 21'dir.
✅ Sonuç: \( a + b \) toplamının alabileceği en küçük değer 15'tir.
