Soru:
\( a \) ve \( b \) birer pozitif tam sayı olmak üzere, \( a \times b = 60 \) ve \( EBOB(a, b) = 5 \) ise, \( a + b \) toplamı kaçtır?
Çözüm:
💡 EBOB'u verilen iki sayıyı bulmak için kullanılan yöntemi uygulayalım.
- ➡️ \( EBOB(a, b) = 5 \) ise, \( a = 5m \) ve \( b = 5n \) yazabiliriz. Burada \( m \) ve \( n \) aralarında asal sayılardır.
- ➡️ \( a \times b = 5m \times 5n = 25 \times m \times n = 60 \) olur.
- ➡️ \( m \times n = \frac{60}{25} = \frac{12}{5} \) ❌ Bu bir tam sayı çıkmadı, bir yerde hata yaptık. Verilenleri kontrol edelim: \( EBOB(a, b) = 5 \) ise, çarpımları \( 5 \times 5 = 25 \)'in katı OLMALIDIR. \( 60 \), 25'in katı değildir. Bu durumda soru hatalı gibi görünüyor. Ancak KPSS mantığıyla, belki de \( EBOB(a, b) = 5 \) değil de 2 veya 3 gibi bir sayı verilmek istenmiş olabilir. Yaygın bir soru tipine uygun çözüm yapalım: \( EBOB(a, b) = k \) ve \( a \times b = 60 \) ise, \( a = k \cdot x\), \( b = k \cdot y\) dersek, \( k^2 \cdot x \cdot y = 60 \) olur. \( x\) ve \(y\) aralarında asaldır. \( k=2 \) için deneyelim: \( 4 \cdot x \cdot y = 60 \), \( x \cdot y = 15\). Aralarında asal (x,y) çiftleri (1,15) ve (3,5). Toplamlar: 2*(1+15)=32 ve 2*(3+5)=16. Soruda EBOB=5 verildiği için ve 60, 25'e tam bölünmediğinden, bu sorunun cevabı yoktur. Pratik bir çözüm için, EBOB(a,b)=5 ise, a=5x, b=5y ve x ile y aralarında asal olmak üzere, 25*x*y=60 -> x*y=60/25=12/5, tam sayı çıkmadığı için böyle bir (a,b) pozitif tam sayı ikilisi yoktur.
✅ Sonuç: Verilen koşulları sağlayan pozitif tam sayı ikilisi bulunmamaktadır. Soru muhtemelen hatalıdır veya farklı bir EBOB değeri kastedilmiştir.
