Soru: $\left(\frac{27}{8}\right)^{x-1} = \left(\frac{4}{9}\right)^{2x+3}$ denklemini sağlayan $x$ değerini bulunuz.
Çözüm:
- Kesirleri asal çarpanlarına ayıralım: $\frac{27}{8} = \frac{3^3}{2^3} = \left(\frac{3}{2}\right)^3$, $\frac{4}{9} = \frac{2^2}{3^2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$
- Denklem: $\left[\left(\frac{3}{2}\right)^3\right]^{x-1} = \left[\left(\frac{2}{3}\right)^2\right]^{2x+3}$
- Üslü ifadenin kuvveti alınınca üsler çarpılır: $\left(\frac{3}{2}\right)^{3(x-1)} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2(2x+3)}$
- Sağ tarafı düzenleyelim: $\left(\frac{2}{3}\right)^{4x+6} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-(4x+6)}$
- Denklem: $\left(\frac{3}{2}\right)^{3x-3} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-(4x+6)}$
- Tabanlar eşit olduğundan üsleri eşitleriz: $3x - 3 = -(4x+6)$
- $3x - 3 = -4x - 6$
- $3x + 4x = -6 + 3$
- $7x = -3$
- $x = -\frac{3}{7}$ bulunur.
