Kosinüs teoremi ispatı nedir?

Bir \( ABC \) üçgeninde \( a = 12 \) cm, \( b = 9 \) cm ve \( c = 15 \) cm ise, bu üçgenin bir dik üçgen olup olmadığını kosinüs teoremi yardımıyla kontrol ediniz.

💡 Bir üçgenin dik üçgen olması için Pisagor teoremini sağlaması gerekir, bu da kosinüs teoremi ile ilişkilidir. Eğer bir açının kosinüsü 0 ise (yani açı \(90^\circ\) ise) o kenarın karşısındaki kare, diğer kenarların kareleri toplamına eşit olur. En uzun kenar \( c = 15 \) cm olduğu için \( C \) açısını kontrol edelim.

• ➡️ İlk adım: Kosinüs teoremini \( C \) açısı için yazalım: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \).
• ➡️ İkinci adım: Eğer üçgen dik üçgen ise \( \cos(C) = 0 \) olmalı ve formül \( c^2 = a^2 + b^2 \)'ye dönüşmeli.
• ➡️ Üçüncü adım: \( a^2 + b^2 \)'yi hesaplayalım: \( (12)^2 + (9)^2 = 144 + 81 = 225 \).
• ➡️ Dördüncü adım: \( c^2 \)'yi hesaplayalım: \( (15)^2 = 225 \).
• ➡️ Beşinci adım: Karşılaştıralım: \( a^2 + b^2 = 225 \) ve \( c^2 = 225 \).
• ➡️ Son adım: Değerler eşit olduğu için \( \cos(C) = 0 \) ve dolayısıyla \( C = 90^\circ \)'dir.

✅ Sonuç: Evet, bu bir dik üçgendir ve dik açı \( C \) açısıdır.