Soru:
Şişkin Ay evresinde, Ay'ın aydınlık yüzeyinin Dünya'dan görülen oranı yaklaşık \( \frac{3}{4} \) veya %75'tir. Buna göre, Ay'ın Güneş-Dünya-Ay konumuna dayanarak, bu evrede Ay'ın uzanım açısı (\( \theta \)) kaç derecedir? (Uzanım açısı, Dünya'dan bakıldığında Güneş ve Ay arasındaki açısal mesafedir.)
Çözüm:
💡 Ay'ın aydınlık yüzey oranı ile uzanım açısı arasındaki ilişkiyi kullanacağız. Aydınlanan yüzey oranı, \( A = \frac{1 + \cos(\theta)}{2} \) formülü ile ifade edilir.
- ➡️ Birinci adım: Soruda bize aydınlık yüzey oranının \( A = 0.75 \) olduğu verilmiştir. Bunu formülde yerine koyalım:
\( 0.75 = \frac{1 + \cos(\theta)}{2} \)
- ➡️ İkinci adım: Denklemi çözelim. İki tarafı da 2 ile çarpalım:
\( 1.5 = 1 + \cos(\theta) \)
- ➡️ Üçüncü adım: 1'i her iki taraftan çıkaralım:
\( 0.5 = \cos(\theta) \)
- ➡️ Dördüncü adım: Hangi açının kosinüsü 0.5'tir?
\( \theta = \cos^{-1}(0.5) = 60° \) veya \( 300° \). Ancak Şişkin Ay, Dolunay'dan (180°) sonra geldiği için ve Son Dördün'e (270°) doğru ilerlediği için uzanım açısı 180° ile 270° arasında olmalıdır. 60° veya 300° bu aralıkta değildir. Burada bir dikkat gerekiyor! Formül, Ay'ın aydınlanan yüzeyinin Dünya'dan görülen kısmını verir. Şişkin Ay, Dolunay'dan Son Dördün'e giderken, aydınlanan yüzey oranı %100'den %50'ye düşer. Dolunay'da \( \theta = 180° \), Son Dördün'de \( \theta = 270° \) dir. %75 oran, Dolunay (%100) ile Son Dördün (%50) arasında ortanca bir değerdir. Bu da \( \theta \)'nın 180° ile 270° arasında, 180°'den uzaklaştığını gösterir. Aslında, \( A = 0.75 \) ise, \( \cos(\theta) = 0.5 \) bulduk. Kosinüsü pozitif olan açılar 1. ve 4. bölgededir. 1. bölge açısı 60°, 4. bölge açısı 300°'dir. Ancak uzanım açısı genellikle 0° ile 360° arasında ve Yeni Ay 0°, Dolunay 180° olacak şekilde tanımlanır. Bu durumda, Ay Güneş'in doğusunda mı batısında mı? Şişkin Ay, Dolunay'dan sonra olduğu için Güneş'in batısındadır. Bu da uzanım açısının 180°'den büyük olduğu anlamına gelir. Kosinüs 180°-240° aralığında negatiftir. Formül \( A = \frac{1 + \cos(\theta)}{2} \) şeklinde genel geçerli değildir, çünkü \( \theta \) açısının tanımına bağlıdır. Daha doğru bir formül, aydınlanan oranın \( A = 0.5 \times (1 + \cos(\phi)) \) olduğu ve \( \phi \)'nin faz açısı (0° ile 180° arası) olduğudur. Yeni Ay'da \( \phi=0° \), Dolunay'da \( \phi=180° \). Şişkin Ay'da aydınlanma %75 ise, bu Dolunay'dan sonra olduğu için, aydınlanan kısım azalmaya başlar. Dolunay'da %100, Son Dördün'de %50'dir. %75, aradaki yarı noktadır. Faz açısı \( \phi \), Dolunay'dan itibaren 0° ile 180° arasında değişir. Dolunay \( \phi=180° \), Son Dördün \( \phi=90° \). %75, \( \phi = 180° - 90° = 90° \) değil, daha farklıdır. Doğrusu: Aydınlanma oranı \( A = 0.5 \times (1 - \cos(\phi)) \) şeklinde de yazılabilir (faz açısının tanımına bağlı). En basit mantık: Görünen aydınlık yüzey oranı %75 ise, bu, Ay'ın Dünya'ya bakan yüzünün yarısından fazlasının aydınlandığı anlamına gelir. Uzanım açısı, Yeni Ay (0°) ile Dolunay (180°) arasında tanımlandığında, İlk Dördün'de (90°) aydınlanma %50'dir. %75 aydınlanma, İlk Dördün ile Dolunay arasında, Dolunay'a daha yakın bir noktadır. Yani uzanım açısı 90° ile 180° arasında olmalıdır. Ancak Şişkin Ay, Dolunay'dan sonra olduğu için uzanım açısı 180° ile 270° arasındadır. Bu çelişkiyi gidermek için, aydınlanma oranının simetrik olduğunu ve Dolunay'dan sonraki %75'in, Dolunay'dan önceki %75 ile aynı uzanım açısına (sadece Ay'ın Güneş'in diğer tarafında olması nedeniyle) sahip olduğunu kabul edebiliriz. Dolunay'dan önceki Şişkin Ay'da uzanım açısı 180° - α, Dolunay'dan sonraki Şişkin Ay'da ise 180° + α'dır. Aydınlanma oranı her ikisinde de aynıdır. Dolunay'dan önceki %75 aydınlanma için uzanım açısı 180° - 60° = 120° olur. O halde, Dolunay'dan sonraki %75 aydınlanma için uzanım açısı 180° + 60° = 240° olur.
✅ Sonuç: Şişkin Ay evresinde (Dolunay'dan sonra) uzanım açısı 240°'dir.
