Soru:
Bir \( ABC \) üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 120^\circ \), \( |AB| = 5 \) cm ve \( |AC| = 8 \) cm'dir. \( A \) köşesinden \( [BC] \) kenarına çizilen yüksekliğin uzunluğu kaç cm'dir? (Not: Yükseklik tabanın uzantısına çizilecektir.)
Çözüm:
💡 Açı geniş olduğu için yükseklik üçgenin dışına, \( [BC] \) kenarının uzantısına çizilir. Bu durumda \( 60^\circ \)'lik açıyı kullanarak dik üçgen oluştururuz.
- ➡️ \( \widehat{A} = 120^\circ \) olduğundan, yüksekliği çizmek için \( \widehat{BAD} \) açısı \( 60^\circ \) olur (çünkü \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)).
- ➡️ \( ABD \) dik üçgenini ele alalım. Hipotenüs \( |AB| = 5 \) cm'dir. \( 60^\circ \) karşısındaki kenar (yükseklik, \( h \)) \( hipotenüs \cdot \sin(60^\circ) \) formülü ile bulunur.
- ➡️ \( h = |AB| \cdot \sin(60^\circ) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \) cm.
- ➡️ Veya 30-60-90 üçgeni özelliği kullanılabilir. \( 60^\circ \)'nin karşısındaki kenar \( h \), \( 30^\circ \)'nin karşısındaki kenar \( \frac{5}{2} \) cm olur. Buradan \( h = \frac{5}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \) cm bulunur.
✅ Sonuç: \( A \) köşesinden \( [BC] \) kenarının uzantısına çizilen yüksekliğin uzunluğu \( \frac{5\sqrt{3}}{2} \) cm'dir.
