Soru:
\( \frac{3 + 4i}{1 - 2i} \) bölme işleminin sonucunu \( a + bi \) standart formunda bulunuz.
Çözüm:
💡 Paydayı reel (gerçel) yapmak için pay ve paydayı, paydanın eşleniği ile çarparız. Bu işleme "eşlenik ile genişletme" denir.
- ➡️ Paydanın eşleniği \( 1 + 2i \)'dir. Payı ve paydayı \( 1 + 2i \) ile çarpalım:
\( \frac{(3 + 4i)}{(1 - 2i)} \cdot \frac{(1 + 2i)}{(1 + 2i)} \)
- ➡️ Payı çarpalım: \( (3 + 4i)(1 + 2i) = 3\cdot1 + 3\cdot2i + 4i\cdot1 + 4i\cdot2i = 3 + 6i + 4i + 8i^2 \)
- ➡️ \( i^2 = -1 \) yerine koyalım: \( 3 + 10i + 8(-1) = 3 + 10i - 8 = -5 + 10i \)
- ➡️ Paydayı çarpalım (iki kare farkı): \( (1 - 2i)(1 + 2i) = 1^2 - (2i)^2 = 1 - (4i^2) = 1 - (4(-1)) = 1 + 4 = 5 \)
- ➡️ Kesri yazalım: \( \frac{-5 + 10i}{5} \)
- ➡️ Terimleri paydaya bölelim: \( \frac{-5}{5} + \frac{10i}{5} = -1 + 2i \)
✅ Sonuç: \( -1 + 2i \)
