Soru: $h(x) = (x+5)^3(x-1)^4$ fonksiyonunun köklerini ve katlılıklarını belirleyiniz.
Çözüm:
1. $h(x)=0$ denklemi: $(x+5)^3(x-1)^4=0$
2. Kökler: $x=-5$ ve $x=1$
3. Katlılık analizi:
- $x=-5$ kökü $(x+5)^3$ çarpanından gelir. Üs 3 (tek sayı) olduğu için bu kök tek katlı kök değildir, ancak genel tanımda üssün tek/çift olması önemlidir. Burada üs 3 olduğundan, kökün katı 3'tür ve tek sayıdır, bu nedenle fonksiyon bu kökte işaret değiştirir (çift katlı köklerde işaret değişmez). Pratikte, üssün 1'den büyük tek sayı olması, kökün tek katlı gibi davranmasına neden olur, ancak kat sayısı 3'tür. Soruda basitlik için, üs tek ise 'tek katlı', çift ise 'çift katlı' diyebiliriz, ama bu örnekte üs 3 olduğundan teknik olarak katı 3'tür. Genel seviye için: üs tek (3) olduğundan, bu bir tek katlı kök değil, katı 3 olan bir köktür, ancak işaret değiştirdiği için tek katlı gibi düşünülebilir. Açıklayalım:
- $x=-5$: üs 3 (tek) → kökün katı 3, işaret değiştirir, bu nedenle tek katlı kök benzeri davranış gösterir, ama kat sayısı 3'tür.
- $x=1$: üs 4 (çift) → kökün katı 4, işaret değiştirmez, bu nedenle çift katlı köktür.
