Soru:
\( \vec{u} = (2, -1, 3) \) ve \( \vec{v} = (4, 0, -2) \) vektörleri veriliyor. Bu iki vektörün skaler (nokta/nokt) çarpımını ve aralarındaki açıyı bulunuz.
Çözüm:
💡 İki vektörün skaler çarpımı, karşılıklı bileşenlerinin çarpımlarının toplamına eşittir. Aradaki açı ise skaler çarpım formülünden (\( \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta \)) yararlanılarak bulunur.
- ➡️ Skaler Çarpım: \( \vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(4) + (-1)(0) + (3)(-2) = 8 + 0 - 6 = 2 \)
- ➡️ Vektörlerin Boylarını Hesaplama:
\( |\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \)
\( |\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 0 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
- ➡️ Açıyı Bulma: \( \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta \)
\( 2 = \sqrt{14} \cdot 2\sqrt{5} \cdot \cos\theta \)
\( 2 = 2\sqrt{70} \cdot \cos\theta \)
\( \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{70}} \)
\( \theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{70}}\right) \)
✅ Sonuç: Skaler çarpım 2'dir ve vektörler arasındaki açı \( \theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{70}}\right) \) radyandır.
