Çözümlü Örnek 4
Soru:
Bir aritmetik dizide \( a_3 + a_7 = 32 \) ve \( a_5 = 18 \) olduğuna göre, bu dizinin ortak farkı (r) kaçtır?
Çözüm:
💡 Tüm terimleri ilk terim \( a_1 \) ve ortak fark \( r \) cinsinden yazabiliriz.
- ➡️ \( a_3 = a_1 + 2r \)
- ➡️ \( a_5 = a_1 + 4r = 18 \)
- ➡️ \( a_7 = a_1 + 6r \)
- ➡️ \( a_3 + a_7 = (a_1 + 2r) + (a_1 + 6r) = 2a_1 + 8r = 32 \)
- ➡️ Bu denklemi sadeleştirelim: \( 2a_1 + 8r = 32 \) → Her terimi 2'ye bölelim: \( a_1 + 4r = 16 \)
- ➡️ Ancak \( a_5 = a_1 + 4r = 18 \) olarak verilmişti. Bir çelişki var gibi görünüyor, kontrol edelim.
- ➡️ İki denklemimiz var: 1) \( a_1 + 4r = 18 \) ve 2) \( a_1 + 4r = 16 \). Bu imkansızdır.
- ➡️ Hata yaptık! \( a_3 + a_7 \) ifadesini düzenleyelim: \( (a_1 + 2r) + (a_1 + 6r) = 2a_1 + 8r \). Bu doğru.
- ➡️ Şimdi, \( a_5 = a_1 + 4r = 18 \) olduğundan, \( a_1 = 18 - 4r \) yazabiliriz.
- ➡️ Bunu ilk denklemde yerine koyalım: \( 2(18 - 4r) + 8r = 32 \)
- ➡️ İşlemi yapalım: \( 36 - 8r + 8r = 32 \) → \( 36 = 32 \) ❌
- ➡️ Bu bir çelişkidir. Demek ki verilen şartlara uygun bir aritmetik dizi yoktur. Ortak fark bulunamaz.
✅ Bu soruda verilen koşulları sağlayan bir aritmetik dizi yoktur. Ortak fark belirli değildir.
