Soru:
Bir astronot, Dünya'dan 100 ışık yılı uzaklıkta bir gezegene gidiyor. Astronotun uzay aracındaki saat, yolculuğun 10 yıl sürdüğünü göstermiştir. Buna göre, uzay aracının ortalama hızı ışık hızının (\(c\)) kaç katıdır? (Zaman genişlemesi etkisini dikkate alınız.)
Çözüm:
💡 Bu soru, özel görelilikteki zaman genişlemesi ve uzunluk kısalması kavramlarını içerir. Astronot için geçen süre (uygun zaman) 10 yıldır. Dünya'daki gözlemci için mesafe 100 ışık yılıdır.
- ➡️ Birinci adım: Bilinenleri yazalım.
- Dünya'ya göre mesafe (\(L_0\)): 100 IY
- Astronota göre geçen süre (\(\Delta t_0\)): 10 yıl
- Işık hızı (\(c\)): 1 IY/yıl (birim olarak)
- ➡️ İkinci adım: Astronotun hareketli referans çerçevesinde, Dünya ile gezegen arasındaki mesafe uzunluk kısalması nedeniyle kısalır. \( L = L_0 \sqrt{1 - v^2/c^2} \)
- ➡️ Üçüncü adım: Astronotun hızını, kendi ölçtüğü mesafeyi ve zamanı kullanarak bulabiliriz.
Astronota göre Hız = (Astronota göre Mesafe) / (Astronota göre Zaman)
\( v = \frac{L}{\Delta t_0} = \frac{L_0 \sqrt{1 - v^2/c^2}}{\Delta t_0} \)
- ➡️ Dördüncü adım: Denklemi \(v/c\) için çözelim. Değerleri yerine koyalım (\(L_0 = 100\), \(\Delta t_0 = 10\), \(c=1\) birim IY/yıl).
\( v = \frac{100 \sqrt{1 - v^2}}{10} \)
\( v = 10 \sqrt{1 - v^2} \)
Her iki tarafın karesini alalım:
\( v^2 = 100 (1 - v^2) \)
\( v^2 = 100 - 100v^2 \)
\( 101v^2 = 100 \)
\( v^2 = \frac{100}{101} \)
\( v = \sqrt{\frac{100}{101}} \approx 0.995 \)
✅ Sonuç: Uzay aracının ortalama hızı, ışık hızının yaklaşık \(0.995\) katıdır (%99,5'i).
