Soru:
Bir fulleren molekülü, tamamen karbon atomlarından oluşan, beşgen ve altıgen yüzeylerin birleşmesiyle meydana gelen kapalı bir kafes yapıdır. "Euler Teoremi"ne göre, bir küresel fulleren yapısında kaç tane beşgen yüzey mutlaka bulunur?
Çözüm:
💡 Bu soru, fullerenlerin geometrik yapısını anlamamızı gerektiriyor. Euler Teoremi (Çokyüzlüler için): Yüzey sayısı (F) + Köşe sayısı (V) = Ayrıt sayısı (E) + 2. Fullerenlerde sadece beşgen ve altıgen yüzeyler vardır.
- ➡️ 1. Adım: Değişkenleri Tanımlayalım. Beşgen sayısına \( p \), altıgen sayısına \( h \) diyelim. Toplam yüzey sayısı \( F = p + h \) olur.
- ➡️ 2. Adım: Köşe ve Ayrıt Sayılarını Hesaplayalım.
- Her beşgenin 5, her altıgenin 6 köşesi vardır. Ancak her köşe 3 yüzey tarafından paylaşılır. Bu nedenle, köşe sayısı: \( V = \frac{5p + 6h}{3} \)
- Her beşgenin 5, her altıgenin 6 ayrıtı vardır. Ancak her ayrıt 2 yüzey tarafından paylaşılır. Bu nedenle, ayrıt sayısı: \( E = \frac{5p + 6h}{2} \)
- ➡️ 3. Adım: Euler Formülünde Yerine Koyalım. \( F + V = E + 2 \)
\( (p + h) + \frac{5p + 6h}{3} = \frac{5p + 6h}{2} + 2 \)
Denklemi 6 ile çarparak paydalardan kurtulalım:
\( 6(p + h) + 2(5p + 6h) = 3(5p + 6h) + 12 \)
\( 6p + 6h + 10p + 12h = 15p + 18h + 12 \)
\( 16p + 18h = 15p + 18h + 12 \)
\( 16p - 15p = 12 \)
\( p = 12 \)
✅ Sonuç olarak, her küresel fulleren yapısında (örneğin C60) 12 adet beşgen mutlaka bulunmak zorundadır. Altıgen sayısı ise molekülün büyüklüğüne göre değişir.
