Soru:
Bir fulleren molekülünde tam olarak 12 tane beşgen yüz olduğu bilinmektedir. Euler formülünü (\( V - E + F = 2 \)) ve bir fullerenin yalnızca beşgen ve altıgen yüzlerden oluştuğu gerçeğini kullanarak, 70 karbon atomlu (C70) bir fullerenin kaç tane altıgen yüze sahip olduğunu hesaplayınız.
Çözüm:
💡 Bu soru, fullerenlerin geometrik yapısını ve Euler formülünü uygulama becerimizi test ediyor. Adım adım çözelim.
- ➡️ 1. Adım: Bilinenleri Yazalım.
Köşe Sayısı (V) = Karbon atomu sayısı = 70
Beşgen yüz sayısı = 12 (Tüm fullerenler için sabit kural)
Altıgen yüz sayısı = x (Bunu bulacağız)
Toplam Yüz Sayısı (F) = Beşgenler + Altıgenler = 12 + x
- ➡️ 2. Adım: Kenar Sayısını (E) Bulalım.
Her kenar iki yüz tarafından paylaşılır.
Beşgenlerin toplam kenar sayısı: \( 12 \times 5 = 60 \)
Altıgenlerin toplam kenar sayısı: \( x \times 6 = 6x \)
Toplam kenar sayısı (paylaşılmayan): \( E = \frac{60 + 6x}{2} = 30 + 3x \)
- ➡️ 3. Adım: Euler Formülünü Uygulayalım.
\( V - E + F = 2 \)
\( 70 - (30 + 3x) + (12 + x) = 2 \)
\( 70 - 30 - 3x + 12 + x = 2 \)
\( 52 - 2x = 2 \)
- ➡️ 4. Adım: Denklemi Çözelim.
\( 52 - 2 = 2x \)
\( 50 = 2x \)
\( x = 25 \)
✅ Sonuç olarak, C70 fullereni 25 tane altıgen yüze sahiptir.
