Soru: Merkezi $M(0,0)$ ve yarıçapı $R=5$ olan bir çember üzerindeki $A(3,4)$ noktası, çember üzerindeki başka bir $B$ noktası üzerine katlanıyor. Katlama çizgisi $y=x$ doğrusu olduğuna göre, $B$ noktasının koordinatları nedir?
A) $(4,3)$
B) $(3,-4)$
C) $(-4,3)$
D) $(-3,-4)$
E) $(5,0)$
Çözüm: Katlama çizgisi, katlanan noktanın (A) ve katlandığı noktanın (B) oluşturduğu doğru parçasının orta dikme doğrusudur. Bu durumda $y=x$ doğrusu, $AB$ doğru parçasının orta dikme doğrusudur.
1. $AB$ doğru parçasının orta noktası $K$, $y=x$ doğrusu üzerinde olmalıdır. $A(3,4)$ ve $B(x_B, y_B)$ olsun. $K = \left(\frac{3+x_B}{2}, \frac{4+y_B}{2}\right)$. $K$ noktası $y=x$ üzerinde olduğundan, $\frac{3+x_B}{2} = \frac{4+y_B}{2} \Rightarrow 3+x_B = 4+y_B \Rightarrow x_B - y_B = 1$.
2. $AB$ doğru parçası, katlama çizgisi olan $y=x$ doğrusuna dik olmalıdır. $y=x$ doğrusunun eğimi $m_1=1$'dir. $AB$ doğrusunun eğimi $m_{AB}$ ise $m_{AB} \cdot m_1 = -1$ olmalıdır, yani $m_{AB}=-1$.
$m_{AB} = \frac{y_B-4}{x_B-3} = -1 \Rightarrow y_B-4 = -(x_B-3) \Rightarrow y_B-4 = -x_B+3 \Rightarrow x_B+y_B = 7$.
3. Elde ettiğimiz iki denklemi çözelim:
$x_B - y_B = 1$
$x_B + y_B = 7$
Denklemleri taraf tarafa toplarsak $2x_B = 8 \Rightarrow x_B = 4$.
$x_B=4$ değerini ikinci denklemde yerine koyarsak $4+y_B=7 \Rightarrow y_B=3$.
Buna göre $B$ noktasının koordinatları $(4,3)$'tür. Bu noktanın çember üzerinde olup olmadığını kontrol edelim: $4^2+3^2 = 16+9=25=5^2$. Evet, çember üzerindedir.
Doğru cevap A seçeneğidir.
