Bir Fonksiyonun Tersi
Bir fonksiyonun tersi, o fonksiyonun yaptığı işlemi "geri alan" başka bir fonksiyondur. Eğer bir f fonksiyonu x elemanını y elemanına eşliyorsa, ters fonksiyon olan f-1 de y'yi tekrar x'e eşler.
Yani: f(x) = y ise, f-1(y) = x'tir.
Bir Fonksiyonun Tersini Bulma Adımları
Bir fonksiyonun tersini bulmak için izlenecek belirli adımlar vardır.
- f(x) yerine y yazılır.
- Denklemde x ve y yer değiştirilir. (Bağımsız değişken x yalnız bırakılacak)
- Oluşan yeni denklem, y'ye göre çözülür.
- Bulunan y ifadesi, f-1(x) olarak yazılır.
Örnek 1: Doğrusal Fonksiyon
f(x) = 4x - 7 fonksiyonunun tersini bulalım.
- y = 4x - 7
- x ve y yer değiştirir: x = 4y - 7
- Bu denklemi y'ye göre çözelim:
x + 7 = 4y
y = (x + 7)/4
- Sonuç: f-1(x) = (x + 7)/4
Örnek 2: Rasyonel Fonksiyon
g(x) = (2x + 1)/(5x - 3) fonksiyonunun tersini bulalım.
- y = (2x + 1)/(5x - 3)
- x ve y yer değiştirir: x = (2y + 1)/(5y - 3)
- İçler dışlar çarpımı yaparak y'yi yalnız bırakalım:
x(5y - 3) = 2y + 1
5xy - 3x = 2y + 1
5xy - 2y = 3x + 1
y(5x - 2) = 3x + 1
y = (3x + 1)/(5x - 2)
- Sonuç: g-1(x) = (3x + 1)/(5x - 2)
Önemli Uyarılar
- Her fonksiyonun tersi bir fonksiyon olmayabilir. Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olabilmesi için, orijinal fonksiyonun birebir ve örten olması gerekir.
- Ters fonksiyonun grafiği, orijinal fonksiyonun grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriğidir.
- f(f-1(x)) = x ve f-1(f(x)) = x eşitlikleri her zaman sağlanır. Bulduğunuz ters fonksiyonu, orijinaliyle bileşke işlemine sokarak doğrulama yapabilirsiniz.
