10. Sınıf Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetri Özellikleri

Question

Bu konuda tek ve çift fonksiyonların tanımını ve grafikler üzerindeki simetri özelliklerini anlamakta zorlanıyorum. Özellikle bir fonksiyonun tek mi çift mi olduğuna nasıl karar vereceğim ve bunu grafikte nasıl yorumlayacağım kafamı karıştırıyor.

Answer 1

Tek ve Çift Fonksiyonlar

Fonksiyonların grafikleri incelendiğinde bazılarının simetri özelliği gösterdiği görülür. Bu simetriler, fonksiyonların "tek" veya "çift" olarak sınıflandırılmasını sağlar.

Çift Fonksiyonlar ve Y-Eksenine Göre Simetri

Bir f fonksiyonunun tanım kümesindeki her x elemanı için f(-x) = f(x) eşitliği sağlanıyorsa, bu fonksiyona çift fonksiyon denir.

Çift fonksiyonların grafikleri, y-eksenine göre simetriktir. Yani grafik, y-ekseni etrafında katlanırsa iki parça birbiriyle tamamen çakışır.

Örnek: f(x) = x² fonksiyonu bir çift fonksiyondur.

• f(2) = (2)² = 4
• f(-2) = (-2)² = 4
• f(2) = f(-2) olduğu için fonksiyon çifttir.

f(x) = x² parabolünün grafiği, y-eksenine göre simetriktir.

Tek Fonksiyonlar ve Orijine Göre Simetri

Bir f fonksiyonunun tanım kümesindeki her x elemanı için f(-x) = -f(x) eşitliği sağlanıyorsa, bu fonksiyona tek fonksiyon denir.

Tek fonksiyonların grafikleri, orijine göre simetriktir. Yani grafik, orijin etrafında 180° döndürülürse kendi üzerine gelir.

Örnek: f(x) = x³ fonksiyonu bir tek fonksiyondur.

• f(2) = (2)³ = 8
• f(-2) = (-2)³ = -8
• f(-2) = -f(2) olduğu için fonksiyon tektir.

f(x) = x³ fonksiyonunun grafiği, orijine göre simetriktir.

Önemli Uyarılar

• Bir fonksiyon hem tek hem de çift olmak zorunda değildir. Örneğin, f(x) = x + 1 fonksiyonu ne tek ne de çifttir.
• Ancak, f(x) = 0 fonksiyonu aynı anda hem tek hem de çift olan tek fonksiyondur.
• Bir fonksiyonun tek veya çift olabilmesi için tanım kümesinin de orijine göre simetrik olması gerekir (yani x tanım kümesindeyse -x de tanım kümesinde olmalıdır).

Fonksiyonların Cebirsel Özellikleri

• İki çift fonksiyonun toplamı ve çarpımı çift fonksiyondur.
• İki tek fonksiyonun toplamı tek, çarpımı ise çift fonksiyondur.
• Bir tek fonksiyon ile bir çift fonksiyonun çarpımı tek fonksiyondur.

Answer 2

10. Sınıf Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetri Özellikleri Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi, hem orijine hem de y eksenine göre simetri özelliği göstermez?
a) \( f(x) = x^4 - 3x^2 \)
b) \( f(x) = |x^3| \)
c) \( f(x) = \sin(x^2) \)
d) \( f(x) = x^3 - x \)
e) \( f(x) = \cos(x^3) \)
Cevap: e) \( f(x) = \cos(x^3) \)
Çözüm: \( f(x) = \cos(x^3) \) fonksiyonunu inceleyelim. \( f(-x) = \cos((-x)^3) = \cos(-x^3) = \cos(x^3) = f(x) \) olduğundan çift fonksiyondur (y eksenine göre simetriktir). Ancak \( -f(-x) = -\cos(x^3) \neq f(x) \) olduğundan tek fonksiyon değildir (orijine göre simetrik değildir). Soru, her iki simetriyi de göstermeyeni istediği için doğru cevap e seçeneğidir.

Soru 2: Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir \( f \) fonksiyonu için \( f(2) = 5 \) ve \( f(-2) = -5 \) değerleri bilinmektedir. Buna göre,
I. \( f \), tek fonksiyondur.
II. \( f \), çift fonksiyondur.
III. \( f \), orijine göre simetriktir.
ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
a) Yalnız I
b) Yalnız III
c) I ve III
d) II ve III
e) I, II ve III
Cevap: c) I ve III
Çözüm: Tek fonksiyonun tanımı: Her \( x \) için \( f(-x) = -f(x) \)'tir. Verilenlere göre \( f(-2) = -5 = -f(2) \) eşitliği sağlanmaktadır. Ancak bu sadece \( x=2 \) ve \( x=-2 \) noktalarında kontrol edilmiştir. Fonksiyonun tüm tanım kümesi için bu özelliği sağladığını bilemeyiz. Bu nedenle I. ifade kesin değildir. Çift fonksiyon için \( f(-x) = f(x) \) olmalıdır. \( f(-2) = -5 \) ve \( f(2) = 5 \) olduğundan \( f(-2) \neq f(2) \), yani II. ifade kesinlikle yanlıştır. Bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetrikse, o fonksiyon tek fonksiyondur. Verilen değerler, fonksiyonun (2,5) ve (-2,-5) noktalarını işaret eder. Bu iki nokta orijine göre simetriktir. Grafiğin tamamının bu şekilde olduğu kesin olmasa da, verilen bilgi bu simetri özelliğinin varlığına işaret eder. Bu nedenle III. ifade verilenlere göre kesinlikle doğrudur.

Soru 3: \( f(x) = (a - 2)x^4 + (b + 1)x^3 + (c - 4)x \) fonksiyonu bir tek fonksiyon olduğuna göre, \( a + b + c \) toplamı kaçtır?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Cevap: c) 5
Çözüm: Bir fonksiyonun tek fonksiyon olabilmesi için, fonksiyonun tanımında çift kuvvetli terimlerin katsayıları sıfır, tek kuvvetli terimlerin katsayıları ise herhangi bir gerçek sayı olmalıdır. Buna göre:
- \( x^4 \)'lü terim (çift kuvvet): \( a - 2 = 0 \) ⇒ \( a = 2 \)
- \( x^