Bir üçgenin alanını bulmak, geometride en temel ve önemli konulardan biridir. Üçgenin alanı, üçgenin düzlemde kapladığı bölgenin ölçüsüdür. Alanı bulmak için birkaç farklı yöntem kullanabiliriz.
Bir üçgenin alanı, herhangi bir kenarın uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.
Alan = \( \frac{1}{2} \) x (Taban Uzunluğu) x (O Tabana Ait Yükseklik)
Matematiksel olarak ifade edersek:
\( A(ABC) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c \)
Burada;
Önemli: Yükseklik, bir kenarın karşısındaki köşeden o kenara (veya kenarın uzantısına) indirilen dikmenin uzunluğudur.
Dik üçgenlerde alan bulmak daha kolaydır çünkü dik kenarlar aynı zamanda birbirlerinin yüksekliğidir.
Alan = \( \frac{1}{2} \) x (Birinci Dik Kenar) x (İkinci Dik Kenar)
Örnek: Dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan bir dik üçgenin alanı: \( \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \) cm2'dir.
Bir üçgenin iki kenarının uzunluğunu ve bu kenarlar arasında kalan açının ölçüsünü biliyorsak, sinüs trigonometrik fonksiyonunu kullanarak alanı hesaplayabiliriz.
Alan = \( \frac{1}{2} \) x (Birinci Kenar) x (İkinci Kenar) x sin(Aradaki Açı)
Matematiksel olarak ifade edersek:
\( A(ABC) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin(B) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin(A) \)
Örnek: Kenar uzunlukları 7 cm ve 9 cm olan ve bu kenarlar arasındaki açı 30° olan bir üçgenin alanı: \( \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 9 \cdot \sin(30°) = \frac{1}{2} \cdot 63 \cdot \frac{1}{2} = 15,75 \) cm2'dir.
Tüm kenar uzunlukları eşit olan eşkenar üçgende alan formülü şu şekildedir:
Bir kenarı a olan eşkenar üçgenin alanı: \( A = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \)
Örnek: Bir kenarı 10 cm olan eşkenar üçgenin alanı: \( \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} \) cm2'dir.
Soru 1: Bir ABC üçgeninde |AB| = 10 cm, |AC| = 8 cm ve m(Â) = 60° dir. Buna göre, A(ABC) kaç cm²'dir?
a) 20√3
b) 25√3
c) 30
d) 40
e) 20
Cevap: a) 20√3
Çözüm: İki kenar ve arasındaki açı bilindiğinde alan formülü kullanılır: A(ABC) = (1/2) * |AB| * |AC| * sin(Â) = (1/2) * 10 * 8 * sin(60°) = (1/2) * 10 * 8 * (√3/2) = 20√3 cm².
Soru 2: Çevresinin uzunluğu 24 cm olan bir eşkenar üçgenin alanı kaç cm²'dir?
a) 16√3
b) 18√3
c) 20√3
d) 24√3
e) 32√3
Cevap: a) 16√3
Çözüm: Eşkenar üçgenin bir kenarı 24/3 = 8 cm'dir. Eşkenar üçgenin alan formülü: (a²√3)/4 = (8²√3)/4 = (64√3)/4 = 16√3 cm².
Soru 3: Bir üçgenin kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm'dir. Bu üçgenin 10 cm'lik kenarına ait yüksekliği kaç cm'dir?
a) 4.2
b) 4.4
c) 4.6
d) 4.8
e) 5.0
Cevap: d) 4.8
Çözüm: Kenar uzunlukları verilen üçgen, 6-8-10 üçgeni olduğundan bir dik üçgendir (6² + 8² = 10²). Alan, dik kenarlarla hesaplanabilir: A = (1/2)*6*8 = 24 cm². Aynı alan, 10 cm'lik kenar ve bu kenara ait yükseklik (h) ile de yazılır: 24 = (1/2)*10*h => 24 = 5h => h = 24/5 = 4.8 cm.
Soru 4: Şekildeki ABC üçgeninde [AH] ⊥ [BC], |BH| = 4 cm, |HC| = 9 cm ve |AH| = 6 cm'dir. Buna göre, A(ABC) kaç cm²'dir?
a) 36
b) 38
c) 39
d) 42
e) 45
Cevap: c) 39
Çözüm: |BC| = |BH| + |HC| = 4 + 9 = 13 cm'dir. Bir kenarı ve o kenara ait yüksekliği bilinen üçgenin alanı: A(ABC) = (1/2) * |BC| * |AH| = (1/2) * 13 * 6 = 39 cm².
