Geometride "arada olma" kavramı, bir noktanın diğer iki nokta arasında bulunduğunu ifade eder. Bu, günlük hayatta da sıkça kullandığımız bir durumdur. Örneğin, bir sırada beklerken "A kişisi ile C kişisinin arasında B kişisi var" dediğimizde, geometrik olarak arada olma kavramını kullanmış oluruz.
Bir B noktasının, A ve C noktalarının arasında olması için aşağıdaki koşulun sağlanması gerekir:
Bu durumu şu formülle ifade edebiliriz:
\( |AB| + |BC| = |AC| \)
Eğer bu eşitlik sağlanıyorsa, B noktası kesinlikle A ile C arasındadır.
Bir doğru üzerinde aşağıdaki gibi üç noktamız olduğunu düşünelim:
A---B---C
Toplamı kontrol edelim: 5 cm + 3 cm = 8 cm.
\( |AB| + |BC| = |AC| \) olduğu için, B noktası A ile C noktaları arasındadır.
Arada olma kavramı, geometride doğru parçası, ışın gibi kavramları tanımlarken, problem çözerken ve ispat yaparken sıkça kullanılan temel bir ilkedir. Bir noktanın konumunu belirlememize yardımcı olur.
Soru 1: A(2, 5) ve B(8, 17) noktaları veriliyor. C noktası, [AB] doğru parçası üzerinde ve |AC| = 2|BC| koşulunu sağlıyor. Buna göre C noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
a) (4, 9)
b) (5, 11)
c) (6, 13)
d) (7, 15)
e) (3, 7)
Cevap: C
Çözüm: |AC| = 2|BC| ise C noktası [AB]'yi 2:1 oranında böler. Bölme formülüne göre: C = ((1⋅2 + 2⋅8)/(1+2), (1⋅5 + 2⋅17)/(1+2)) = ((2+16)/3, (5+34)/3) = (18/3, 39/3) = (6, 13)
Soru 2: K(1, -2) ve L(7, 10) noktaları veriliyor. M noktası [KL] doğru parçasının orta noktasıdır. N noktası ise [KM] doğru parçasını 1:2 oranında bölen noktadır. Buna göre N noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
a) (2, 1)
b) (3, 4)
c) (4, 7)
d) (5, 10)
e) (6, 13)
Cevap: A
Çözüm: Önce M orta noktası: M = ((1+7)/2, (-2+10)/2) = (4, 4). N noktası [KM]'yi 1:2 oranında böler: N = ((2⋅1 + 1⋅4)/(2+1), (2⋅(-2) + 1⋅4)/(2+1)) = ((2+4)/3, (-4+4)/3) = (6/3, 0/3) = (2, 0)
Soru 3: D(3, 8) ve E(15, 20) noktaları veriliyor. F noktası [DE] doğru parçası üzerinde ve |DF| = 3|FE| koşulunu sağlıyor. Buna göre F noktasının apsisi ile ordinatının toplamı kaçtır?
a) 18
b) 20
c) 22
d) 24
e) 26
Cevap: D
Çözüm: |DF| = 3|FE| ise F noktası [DE]'yi 3:1 oranında böler. F = ((1⋅3 + 3⋅15)/(1+3), (1⋅8 + 3⋅20)/(1+3)) = ((3+45)/4, (8+60)/4) = (48/4, 68/4) = (12, 17). Apsis + ordinat = 12 + 17 = 29
Soru 4: P(-2, 5) ve R(10, -7) noktaları veriliyor. S noktası [PR] doğru parçası üzerinde ve |PS|:|SR| = 1:3 oranındadır. Buna göre S noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
a) (1, 2)
b) (2, 1)
c) (0, 3)
d) (3, 0)
e) (4, -1)
Cevap: A
Çözüm: S noktası [PR]'yi 1:3 oranında böler: S = ((3⋅(-2) + 1⋅10)/(3+1), (3⋅5 + 1⋅(-7))/(3+1)) = ((-6+10)/4, (15-7)/4) = (4/4, 8/4) = (1, 2)
