Geometride "arada olma" kavramı, bir noktanın diğer iki nokta arasında bulunduğunu ifade eder. Bu, günlük hayatta bir sıranın ortasında durmak gibi basit bir mantığa dayanır.
Üç farklı nokta (A, B ve C) düşünelim. Eğer B noktası, A ve C noktaları arasındaki doğru parçası üzerinde yer alıyorsa, B noktası, A ile C arasındadır deriz.
Bu durum şu şekilde gösterilir: A - B - C
Bir B noktasının A ve C arasında olduğunu söyleyebilmemiz için aşağıdaki eşitliğin sağlanması gerekir:
|AB| + |BC| = |AC|
Burada:
Yani, iki küçük parçanın uzunlukları toplamı, büyük parçanın uzunluğuna eşitse, B noktası A ile C arasındadır.
Bir doğru üzerinde A, B ve C noktalarını düşünelim. |AB| = 5 cm ve |BC| = 3 cm olsun.
Eğer |AC| = 8 cm ise, 5 + 3 = 8 olduğu için B noktası A ile C arasındadır.
Ancak |AC| = 9 cm olsaydı, 5 + 3 ≠ 9 olacağı için B noktası A ile C arasında değildir.
Soru 1: A(2) ve B(14) noktaları veriliyor. [AC] ve [CB] doğru parçalarının uzunlukları oranı \( \frac{|AC|}{|CB|} = \frac{2}{3} \) ise, C noktasının koordinatı kaçtır?
a) 5.6 b) 6.2 c) 6.8 d) 7.4 e) 8
Cevap: C
Çözüm: Arada olma formülü kullanılır: \( x_C = \frac{3 \cdot 2 + 2 \cdot 14}{2 + 3} = \frac{6 + 28}{5} = \frac{34}{5} = 6.8 \).
Soru 2: Bir sayı doğrusu üzerinde A(-5) ve B(10) noktaları işaretlenmiştir. C noktası, [AB]'ni 1'den farklı bir pozitif oranda bölmektedir. |AC| = 3|CB| olduğuna göre, C noktasının koordinatı aşağıdakilerden hangisidir?
a) 0.25 b) 1.25 c) 2.5 d) 5 e) 6.25
Cevap: E
Çözüm: |AC| = 3k ve |CB| = k dersek, oran \( \frac{|AC|}{|CB|} = \frac{3}{1} \) olur. Formül: \( x_C = \frac{1 \cdot (-5) + 3 \cdot 10}{3 + 1} = \frac{-5 + 30}{4} = \frac{25}{4} = 6.25 \).
Soru 3: K(1) ve L(16) noktaları veriliyor. M noktası [KL]'nin orta noktasıdır. N noktası ise [KM]'yi \( \frac{|KN|}{|NM|} = \frac{1}{2} \) oranında bölmektedir. Buna göre, N noktasının koordinatı kaçtır?
a) 3.5 b) 4 c) 4.5 d) 5 e) 5.5
Cevap: B
Çözüm: Önce M'nin koordinatını bulalım: \( x_M = \frac{1 + 16}{2} = 8.5 \). Şimdi N, [KM]'yi 1:2 oranında bölüyor. K(1) ve M(8.5) noktaları için: \( x_N = \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 8.5}{1 + 2} = \frac{2 + 8.5}{3} = \frac{10.5}{3} = 3.5 \). Dikkat! Soruda [KM]'yi bölüyor denmiş, yani K(1) ve M(8.5) arasında. Bu durumda N noktası \( \frac{|KN|}{|NM|} = \frac{1}{2} \) ise, formülde kullanacağımız sayılar m1=1 ve m2=2'dir. \( x_N = \frac{m_2 \cdot x_K + m_1 \cdot x_M}{m_1 + m_2} = \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 8.5}{1 + 2} = \frac{2 + 8.5}{3} = \frac{10.5}{3} = 3.5 \) olur. Ancak seçeneklerde 3.5 (a şıkkı) var. Fakat sorunun mantığında bir hata yapmış olabiliriz. Doğrusu: Eğer |KN|/|NM| = 1/2 ise, bu KN'nin payda, NM'nin pay olduğu anlamına gelir. Yani m1=1, m2=2'dir. Cevap 3.5'tir ve a şıkkıdır. Kontrol edelim: K=1, M=8.5. KN=1k, NM=2k dersek, KM=3k=7.5 -> k=2.5. KN=2.5, yani N=1+2.5=3.5. Cevap A olmalı. Soruda verilen seçenekler ve işlem gözden
