Ayrık olaylar, aynı anda gerçekleşmeleri mümkün olmayan olaylardır. Yani, bir olayın gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini engeller. Örneğin, bir zar atıldığında hem 3 hem de 4 gelmesi imkansızdır. Bu iki olay ayrıktır.
Ayrık iki olaydan birinin veya diğerinin gerçekleşme olasılığını bulmak için, bu iki olayın olasılıklarını toplarız. Buna toplama kuralı denir.
Eğer A ve B ayrık olaylar ise, "A veya B" olayının olasılığı şu formülle hesaplanır:
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)
İçinde 3 kırmızı, 2 mavi ve 5 yeşil top bulunan bir torbadan rastgele bir top çekilecektir. Çekilen topun kırmızı veya mavi olma olasılığı nedir?
Adım 1: Toplam top sayısını bul: 3 + 2 + 5 = 10
Adım 2: Tek tek olasılıkları hesapla:
Adım 3: Bir top aynı anda hem kırmızı hem mavi olamayacağı için bu olaylar ayrıktır. Toplama kuralını uygula:
\( P(K \cup M) = P(K) + P(M) = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
Sonuç olarak, bir topun kırmızı veya mavi olma olasılığı \( \frac{1}{2} \) yani %50'dir.
Toplama kuralını sadece olayların ayrık olduğundan emin olduğunuz durumlarda kullanabilirsiniz. Eğer olaylar ayrık değilse (örneğin, bir desteden maça veya as çekme olayı) formül değişir.
Soru 1: Bir zar ve bir madeni para aynı anda atılıyor. Zarın üst yüzüne gelen sayının çift, paranın ise tura gelme olasılığı kaçtır?
a) \( \frac{1}{12} \)
b) \( \frac{1}{6} \)
c) \( \frac{1}{4} \)
d) \( \frac{1}{3} \)
e) \( \frac{1}{2} \)
Cevap: c) \( \frac{1}{4} \)
Çözüm: Zarın çift gelme olasılığı \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \), paranın tura gelme olasılığı \( \frac{1}{2} \)'dir. Bu iki ayrık olay aynı anda gerçekleştiği için olasılıklar çarpılır: \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \).
Soru 2: İçinde 4 kırmızı, 5 mavi ve 3 yeşil top bulunan bir torbadan rastgele iki top çekiliyor. Çekilen topların ikisinin de aynı renk olma olasılığı kaçtır?
a) \( \frac{19}{66} \)
b) \( \frac{5}{33} \)
c) \( \frac{7}{22} \)
d) \( \frac{1}{3} \)
e) \( \frac{2}{5} \)
Cevap: a) \( \frac{19}{66} \)
Çözüm: Toplam top sayısı 12'dir. İki topun seçim sayısı \( C(12,2) = 66 \). Aynı renk olma durumları: İki kırmızı: \( C(4,2)=6 \), İki mavi: \( C(5,2)=10 \), İki yeşil: \( C(3,2)=3 \). Toplam istenen durum: 6+10+3=19. Olasılık: \( \frac{19}{66} \).
Soru 3: A ve B, E örneklem uzayında iki ayrık olaydır. P(A) = 0.4 ve P(B) = 0.3 olduğuna göre, A veya B olaylarından en az birinin gerçekleşme olasılığı kaçtır?
a) 0.12
b) 0.58
c) 0.7
d) 0.82
e) 1
Cevap: c) 0.7
Çözüm: A ve B ayrık olaylar olduğu için kesişimleri boş kümedir (P(A∩B)=0). Ayrık olaylarda "veya" olasılığı, olasılıkların toplamı ile bulunur: P(A∪B) = P(A) + P(B) = 0.4 + 0.3 = 0.7.
