Bir üçgende açılar ve kenarlar arasında çok önemli ilişkiler vardır. Bu ilişkileri bilmek, üçgenlerle ilgili problemleri çözerken bize büyük kolaylık sağlar.
Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180°'dir.
\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
Bir üçgende kenar uzunlukları ile açı ölçüleri doğrudan birbiriyle ilişkilidir.
Örneğin, bir üçgende \( \angle A > \angle B > \angle C \) ise, kenar uzunlukları arasında \( a > b > c \) ilişkisi vardır.
Bir üçgenin iki kenarının uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan daha büyük; iki kenarının uzunlukları farkının mutlak değeri ise üçüncü kenarın uzunluğundan daha küçük olmak zorundadır.
Bir üçgenin kenar uzunlukları \( a \), \( b \) ve \( c \) olsun. Aşağıdaki üç eşitsizlik her zaman sağlanmalıdır:
Bu kural, verilen üç uzunluğun bir üçgen oluşturup oluşturamayacağını anlamamızı sağlar.
Bir dik üçgende, dik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. Hipotenüs, üçgenin en uzun kenarıdır.
Dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.
\( a^2 + b^2 = c^2 \)
Soru 1: Bir ABC üçgeninde m(∠A) = 50°, m(∠B) = 60° ve m(∠C) = 70° dir. Bu üçgenin kenar uzunlukları a, b ve c olmak üzere (a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|) aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
a) a < b < c
b) c < b < a
c) c < a < b
d) b < a < c
e) a < c < b
Cevap: c) c < a < b
Çözüm: Bir üçgende bir kenarın uzunluğu, kendisine komşu olmayan açının ölçüsüyle doğru orantılıdır. En küçük açı ∠A (50°)'ye karşılık gelen kenar a, en büyük açı ∠C (70°)'ye karşılık gelen kenar ise c'dir. Bu nedenle kenar uzunlukları c < a < b şeklinde sıralanır.
Soru 2: Kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 10 cm olan bir üçgen çizilebilir mi?
a) Evet, çünkü tüm kenarlar pozitiftir.
b) Hayır, çünkü 5 + 7, 10'dan büyük değildir.
c) Evet, çünkü 5 + 7 > 10'dur.
d) Hayır, çünkü 7 - 5, 10'dan küçüktür.
e) Evet, çünkü 10 - 7 < 5'tir.
Cevap: c) Evet, çünkü 5 + 7 > 10'dur.
Çözüm: Bir üçgenin çizilebilmesi için üçgen eşitsizliği sağlanmalıdır. |7-5| < 10 < 7+5 → 2 < 10 < 12 eşitsizliği doğru olduğu için bu üçgen çizilebilir. Seçenekteki 5 + 7 > 10 ifadesi de doğrudur ve bu üçgen eşitsizliğinin bir parçasıdır.
Soru 3: Bir ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |AC| = 6 cm ve |BC| = x cm'dir. x'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
a) 39
b) 40
c) 41
d) 42
e) 43
Cevap: d) 42
Çözüm: Üçgen eşitsizliğine göre: |8-6| < x < 8+6 → 2 < x < 14. x'in alabileceği tam sayı değerleri 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13'tür. Bu sayıların toplamı 3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13 = 88'dir. Ancak soru kökünde "tam sayı değerlerinin toplamı" ifadesi belirsizdir. Muhtemelen "sayısı" veya "en büyük ve en küçük değer" sorulmak istenmiştir. Seçenekler göz önüne alındığında, x'in alabileceği değerlerin sayısı (11 adet) veya toplamı (88) seçeneklerde yoktur. Bu nedenle soruda "x'in alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamı" sorulmuş olabilir. 3 + 13 = 16 seçeneklerde yok. Alternatif bir yorumla, |6-8|=2 ve 6+8=14 arasındaki tam sayılar 3'ten 13'e kadardır (11 sayı). Toplamları 88'dir, bu seçeneklerde yok. Soru muhtemelen "x'in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?" şeklinde olmalıydı ve cevap 11 olurdu. Seçeneklerde 11 yok. Bu nedenle
