Dik üçgende kenarortay nedir?

Question

Kenarortayın tanımını biliyorum ama dik üçgene uygulayınca kafam karıştı. Hipotenüse indirilen kenarortayın diğer kenarortaylardan farklı olup olmadığını anlamaya çalışıyorum. Özellikle bu kenarortayın uzunluğu ile hipotenüs arasındaki ilişkiyi tam olarak kavrayamadım.

Answer 1

Dik Üçgende Kenarortay

Bir üçgende bir kenarın orta noktasını karşı köşeye birleştiren doğru parçasına kenarortay denir. Bir üçgenin üç tane kenarortayı vardır ve bunların kesişim noktasına ağırlık merkezi adı verilir.

Dik Üçgende Hipotenüse Ait Kenarortay

Dik üçgenlerde kenarortayla ilgili çok önemli ve kullanışlı bir kural vardır:

Bir dik üçgende, hipotenüse çizilen kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün uzunluğunun yarısına eşittir.

Yani, aşağıdaki gibi bir ABC dik üçgeni düşünelim:

• A noktası dik açı olsun (\( \angle A = 90^\circ \)).
• Kenarlar: [AB] ve [AC] dik kenarlar, [BC] ise hipotenüs olsun.
• Hipotenüsün orta noktası D olsun.
• A noktasından D noktasına çizilen [AD] doğru parçası, hipotenüse ait kenarortaydır.

Bu durumda, kenarortayın uzunluğu için aşağıdaki formül geçerlidir:

\( |AD| = \frac{|BC|}{2} \)

Bu kuralı şu şekilde de ifade edebiliriz: "Bir dik üçgende, hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, çevrel çemberin yarıçapına eşittir." Çünkü bir dik üçgenin çevrel çemberinin merkezi her zaman hipotenüsün orta noktasıdır ve yarıçapı da hipotenüsün yarısı kadardır.

Neden Önemlidir?

• Bu kural, dik üçgenlerde kenar uzunlukları ve kenarortay uzunlukları arasında hızlı bir ilişki kurmamızı sağlar.
• Bir problemi çözerken hipotenüsün uzunluğunu biliyorsak, kenarortayın uzunluğunu hemen bulabiliriz veya tam tersi.
• Geometri ve trigonometri problemlerinde sıkça kullanılan temel bir özelliktir.

Örnek

Bir dik üçgenin hipotenüsünün uzunluğu 10 cm ise, hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu:

\( \frac{10}{2} = 5 \) cm'dir.

Answer 2

Dik Üçgende Kenarortay Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC dik üçgeninde A köşesi dik açıdır. |AB| = 6 cm ve |AC| = 8 cm'dir. BC kenarına ait kenarortayın uzunluğu kaç cm'dir?
a) 4   b) 5   c) 6   d) 7   e) 8
Cevap: b) 5
Çözüm: Dik üçgende hipotenüse çizilen kenarortayın uzunluğu hipotenüsün yarısına eşittir. Önce hipotenüsü bulalım: |BC| = \(\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\) cm. Kenarortay uzunluğu = 10 / 2 = 5 cm'dir.

Soru 2: Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay 13 cm ise, hipotenüsün uzunluğu kaç cm'dir?
a) 13   b) 18   c) 24   d) 26   e) 30
Cevap: d) 26
Çözüm: Dik üçgende hipotenüse çizilen kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir. Bu durumda hipotenüs = 2 × kenarortay = 2 × 13 = 26 cm olur.

Soru 3: Şekildeki ABC dik üçgeninde [BA] ⊥ [AC] ve |AD| = 5 cm'dir. Buna göre |BC| kaç cm'dir?
a) 8   b) 9   c) 10   d) 12   e) 15
Cevap: c) 10
Çözüm: D noktası hipotenüsün orta noktası olduğuna göre, |AD| kenarortaydır. Hipotenüs = 2 × kenarortay = 2 × 5 = 10 cm'dir.

Soru 4: Bir ABC dik üçgeninde A açısı dik açıdır. D noktası [BC]'nin orta noktasıdır. |AB| = 9 cm ve |AC| = 12 cm olduğuna göre, |AD| kenarortayının uzunluğu kaç cm'dir?
a) 6   b) 7,5   c) 8   d) 9   e) 10
Cevap: b) 7,5
Çözüm: Önce hipotenüsü bulalım: |BC| = \(\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15\) cm. Hipotenüse ait kenarortay = hipotenüs / 2 = 15 / 2 = 7,5 cm'dir.