Soru 1: Bir sınıftaki 5 öğrencinin matematik sınavından aldığı notlar şu şekildedir: 70, 80, 85, 90, 100. Bu veri setinin standart sapması yaklaşık olarak kaçtır?
a) 5,48
b) 10,00
c) 11,18
d) 12,25
e) 15,81
Cevap: c) 11,18
Çözüm: Önce ortalama hesaplanır: (70+80+85+90+100)/5 = 85. Her bir verinin ortalamadan farkının karesi alınır: (225+25+0+25+225)=500. Varyans = 500/5=100. Standart sapma = √100 = 10. Ancak örneklem standart sapması için 500/4=125 ve √125≈11,18 olur.
Soru 2: A ve B şirketlerinin 5 günlük hisse senedi getirileri aşağıda verilmiştir. Hangi şirketin getirisi daha istikrarlıdır?
A Şirketi: %2, %3, %1, %4, %0
B Şirketi: %8, %1, %10, %-2, %3
a) A şirketi daha istikrarlı
b) B şirketi daha istikrarlı
c) İkisi de aynı derecede istikrarlı
d) Karşılaştırma yapılamaz
e) Standart sapma hesaplanmadan bilinemez
Cevap: a) A şirketi daha istikrarlı
Çözüm: Standart sapma ne kadar küçükse, veri o kadar istikrarlıdır. A şirketinin getirileri B'ye göre ortalamaya daha yakın olduğu için standart sapması daha küçük çıkacak ve daha istikrarlı olduğu anlaşılacaktır.
Soru 3: Bir fabrikada üretilen vidaların uzunlukları milimetre cinsinden ölçülmüş ve standart sapması 0,2 mm bulunmuştur. Üretim sürecinde iyileştirme yapıldıktan sonra standart sapma 0,05 mm'ye düşmüştür. Bu durumla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) Vidaların ortalama uzunluğu artmıştır
b) Vidaların boyları arasındaki fark artmıştır
c) Üretim kalitesi ve tutarlılığı artmıştır
d) Daha fazla varyete üretilmeye başlanmıştır
e) Üretim hızı azalmıştır
Cevap: c) Üretim kalitesi ve tutarlılığı artmıştır
Çözüm: Standart sapmanın azalması, verilerin ortalamaya daha yakın dağıldığını yani üretimdeki tutarlılığın arttığını gösterir. Bu da kalitenin arttığı anlamına gelir.
Soru 4: İki farklı sınıfta yapılan sınav sonuçları analiz edilmiştir. A sınıfının standart sapması 8, B sınıfının standart sapması 15 bulunmuştur. Bu sonuçlara göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
a) A sınıfının ortalaması daha yüksektir
b) B sınıfındaki en yüksek not daha fazladır
c) A sınıfındaki notlar daha homojen dağılmıştır
d) B sınıfındaki öğrenci sayısı daha fazladır
e) A sınıfının başarısı daha yüksektir
Cevap: c) A sınıfındaki notlar daha homojen dağılmıştır
Çözüm: Standart sapma, verilerin dağılımının bir ölçüsüdür. Daha küçük standart sapma, verilerin ortalamaya daha yakın olduğunu ve dağılımın daha homojen olduğunu gösterir.
Standart sapma, bir veri setindeki sayıların ortalamadan ne kadar saptığını ölçen bir istatistiktir. Düşük standart sapma, verilerin ortalamaya yakın toplandığını; yüksek standart sapma ise verilerin daha geniş bir aralığa yayıldığını gösterir.
Standart sapmayı hesaplamak için şu adımlar izlenir:
Formülü şu şekildedir:
\(\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}}\)
Burada:
Veri Seti: [5, 7, 3, 7]
1. Adım: Ortalama Hesaplama
Ortalama (\(\mu\)) = \((5 + 7 + 3 + 7) / 4 = 22 / 4 = 5.5\)
2. Adım: Ortalamadan Farklar ve Kareleri
3. Adım: Varyansı Hesaplama
Karelerin Toplamı = 0.25 + 2.25 + 6.25 + 2.25 = 11
Varyans (\(\sigma^2\)) = \(11 / 4 = 2.75\)
4. Adım: Standart Sapmayı Hesaplama
Standart Sapma (\(\sigma\)) = \(\sqrt{2.75} \approx 1.66\)
Sonuç: Bu veri setinin standart sapması yaklaşık 1.66'dır. Bu, verilerin ortalama olan 5.5 etrafında ortalama 1.66 birim oynadığını gösterir.
Veri Seti: [10, 2, 8, 12, 3]
1. Adım: Ortalama Hesaplama
Ortalama (\(\mu\)) = \((10 + 2 + 8 + 12 + 3) / 5 = 35 / 5 = 7\)
2. Adım: Ortalamadan Farklar ve Kareleri
3. Adım: Varyansı Hesaplama
Karelerin Toplamı = 9 + 25 + 1 + 25 + 16 = 76
Varyans (\(\sigma^2\)) = \(76 / 5 = 15.2\)
4. Adım: Standart Sapmayı Hesaplama
Standart Sapma (\(\sigma\)) = \(\sqrt{15.2} \approx 3.90\)
Sonuç: Bu veri setinin standart sapması yaklaşık 3.90'dır. İlk örneğe kıyasla bu değerin daha yüksek olması, verilerin ortalamadan daha fazla saptığını ve daha geniş bir aralığa yayıldığını gösterir.
Bu karşılaştırma, standart sapmanın bir veri setinin değişkenliğini veya tutarlılığını anlamak için ne kadar kullanışlı olduğunu gösterir.
