Diziler: Aritmetik ve Geometrik Dizi Formülleri

Question

Bu iki dizi türünün formüllerini karıştırıyorum. Özellikle ortak fark ve ortak çarpanı nereye yazacağım konusunda kafam karışıyor. Genel terim formüllerini hangi durumda kullanacağımı da tam oturtamadım.

Answer 1

🧮 Aritmetik Diziler: Sayıların Düzenli Dansı

Aritmetik diziler, ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu sayılardan oluşan dizilerdir. Bu sabit farka ortak fark denir ve genellikle 'd' ile gösterilir.

🔢 Aritmetik Dizi Formülü

Bir aritmetik dizinin genel terimi (n'inci terimi) aşağıdaki formülle bulunur:

a_n = a₁ + (n - 1)d

• 🍏 a_n: Dizinin n'inci terimi
• 🍎 a₁: Dizinin ilk terimi
• 🍐 n: Terim sayısı
• 🍊 d: Ortak fark

➕ Aritmetik Dizi Toplamı

Bir aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı (S_n) aşağıdaki formülle hesaplanır:

S_n = n/2 * [2a₁ + (n - 1)d]

Veya, son terim (a_n) biliniyorsa:

S_n = n/2 * (a₁ + a_n)

📐 Geometrik Diziler: Katlanarak Büyüyen Sayılar

Geometrik diziler, ardışık terimleri arasındaki oranın sabit olduğu sayılardan oluşan dizilerdir. Bu sabit orana ortak oran denir ve genellikle 'r' ile gösterilir.

➗ Geometrik Dizi Formülü

Bir geometrik dizinin genel terimi (n'inci terimi) aşağıdaki formülle bulunur:

a_n = a₁ * r^{(n - 1)}

• 🍋 a_n: Dizinin n'inci terimi
• 🍌 a₁: Dizinin ilk terimi
• 🍉 n: Terim sayısı
• 🍇 r: Ortak oran

✖️ Geometrik Dizi Toplamı

Bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı (S_n) aşağıdaki formülle hesaplanır:

S_n = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r) (r ≠ 1)

♾️ Sonsuz Geometrik Dizi Toplamı

Eğer |r| < 1 ise, sonsuz bir geometrik dizinin toplamı (S_∞) aşağıdaki formülle bulunur:

S_∞ = a₁ / (1 - r)

Bu formüller, aritmetik ve geometrik dizilerle ilgili problemleri çözmek ve bu sayı dizilerinin özelliklerini anlamak için temel araçlardır. Matematik dünyasında başarılar!