📦 Dönel Cisimlerin Hacmi (Disk Yöntemi)
Dönel cisimlerin hacmini hesaplamak için kullanılan disk yöntemi, integral hesabın en önemli uygulamalarından biridir. Bu yöntem, bir eğrinin bir eksen etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini bulmamızı sağlar.
🎯 Temel Mantık
Disk yönteminin temelinde, dönel cismi sonsuz sayıda ince diske bölme fikri yatar. Her bir diskin hacmini hesaplayıp, bunları topladığımızda (integral aldığımızda) cismin toplam hacmini buluruz.
📐 Yöntemin Adımları
- 🌀 1. Adım: Döndürülecek bölgeyi ve dönme eksenini belirle
- 📏 2. Adım: Tipik bir diskin yarıçapını bul (bu, fonksiyon değeridir)
- 🥞 3. Adım: Diskin hacim elemanını yaz: \( dV = \pi [f(x)]^2 dx \)
- ∫ 4. Adım: İntegral sınırlarını belirleyip hacmi hesapla: \( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \)
🧮 Formül
x-ekseni etrafında döndürme için:
\( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \)
y-ekseni etrafında döndürme için:
\( V = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 dy \)
📝 Örnek Problem
Örnek: \( f(x) = \sqrt{x} \) eğrisinin x = 0'dan x = 4'e kadar olan kısmının x-ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini bulunuz.
Çözüm:
- 🌀 Dönme ekseni: x-ekseni
- 📏 Disk yarıçapı: \( r = f(x) = \sqrt{x} \)
- 🥞 Disk alanı: \( A(x) = \pi [\sqrt{x}]^2 = \pi x \)
- ∫ Hacim: \( V = \pi \int_{0}^{4} x dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} = \pi \left( \frac{16}{2} - 0 \right) = 8\pi \)
💡 Önemli Noktalar
- ✅ Disk yöntemi, katı bir cisim oluşturulduğunda kullanılır
- ✅ Dönme eksenine dik kesitler daire şeklinde olmalı
- ✅ İntegral sınırları, döndürülen bölgenin sınırlarına karşılık gelmeli
- ⚠️ Eğer cisimde "delik" varsa, halka (washer) yöntemi kullanılmalı
🔄 Pratik İpuçları
- 📌 Her zaman önce grafiği çizerek problemi görselleştir
- 📌 Disk yarıçapının dönme eksenine dik olduğundan emin ol
- 📌 Birim kontrolü yap - hacim birimi uzunluk biriminin küpü olmalı
- 📌 Sonucu mantıklı olup olmadığını kontrol et
