İrrasyonel sayılar kümesi sıralı mıdır

Question

İrrasyonel sayıların sıralı olup olmadığını tam olarak anlayamadım. Reel sayılar içinde her zaman karşılaştırma yapabiliyoruz ama irrasyoneller arasında bu sıralama nasıl işliyor? Özellikle sayı doğrusunda yer aldıklarını biliyorum ama küme olarak sıralılık özelliğini taşıyıp taşımadıkları kafamı karıştırıyor.

Answer 1

İrrasyonel Sayılar Kümesi ve Sıralama

Bu soruyu cevaplamak için önce sıralı küme (tam sıralı küme) kavramını anlamak gerekir. Bir kümenin sıralı olması için aşağıdaki üç koşulu sağlaması gerekir:

• Yansıma Özelliği: Kümedeki her \( a \) elemanı için \( a \leq a \) sağlanır.
• Antisimetri Özelliği: Kümedeki her \( a \) ve \( b \) elemanı için, eğer \( a \leq b \) ve \( b \leq a \) ise \( a = b \) olur.
• Geçişme Özelliği: Kümedeki her \( a \), \( b \) ve \( c \) elemanı için, eğer \( a \leq b \) ve \( b \leq c \) ise \( a \leq c \) olur.
• Karşılaştırılabilirlik: Kümedeki herhangi iki farklı \( a \) ve \( b \) elemanı için \( a \leq b \) veya \( b \leq a \) bağıntısından biri mutlaka sağlanır.

Bu özellikler, gerçel sayılar kümesi (\( \mathbb{R} \)) için bildiğimiz "büyüklük-küçüklük" ilişkisinde geçerlidir.

İrrasyonel Sayılar Kümesi (\( \mathbb{I} \))

İrrasyonel sayılar, iki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan gerçel sayılardır. Örnekler: \( \pi \), \( e \), \( \sqrt{2} \).

Gerçel sayılar kümesi (\( \mathbb{R} \)) sıralı bir küme olduğu için, onun bir alt kümesi olan irrasyonel sayılar kümesi (\( \mathbb{I} \)) de aynı "<" (küçüktür) veya ">" (büyüktür) sıralama bağıntısını miras alır.

Yani, herhangi iki irrasyonel sayıyı aldığımızda, bu sayılar gerçel sayı oldukları için aralarında bir büyüklük-küçüklük ilişkisi vardır. Örneğin:

• \( \sqrt{2} \approx 1.414 \)
• \( \pi \approx 3.141 \)

Bu durumda \( \sqrt{2} < \pi \) olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz. Bu, gerçel sayılardaki sıralamanın irrasyonel sayılar üzerinde de aynen geçerli olduğunu gösterir.

Sonuç

İrrasyonel sayılar kümesi, gerçel sayılar kümesinin standart sıralamasının bir alt kümesi olarak düşünüldüğünde sıralı bir kümedir. Kümedeki herhangi iki farklı eleman karşılaştırılabilir ve yansıma, antisimetri, geçişme özelliklerini sağlar.

Önemli Not: İrrasyonel sayılar kümesi, gerçel sayıların sıralı yapısına göre sıralıdır, ancak bu küme tam değildir (yani her sınırlı alt kümesinin bir en küçük üst sınıra sahip olması gerekmez) ve sayılabilir de değildir.