🧮 Ayrık Olaylar Nedir?
Ayrık olaylar, aynı anda gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylardır. Yani, bir olay gerçekleştiğinde, diğer olay gerçekleşemez.
- ⚽ Örnek: Bir zar atıldığında, aynı anda hem 3 hem de 5 gelmesi mümkün değildir. Zarda sadece bir yüz gelebilir.
- 🎲 Örnek: Bir madeni para atıldığında, aynı anda hem yazı hem de tura gelmesi mümkün değildir. Ya yazı gelir ya da tura.
- 📅 Örnek: Bir kişinin aynı anda hem Ankara'da hem de İstanbul'da olması mümkün değildir.
Matematiksel İfade:
Eğer A ve B ayrık olaylar ise, $P(A \cap B) = 0$'dır. Yani, A ve B olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı sıfırdır.
➕ Ayrık Olayların Olasılığı Nasıl Hesaplanır?
Ayrık olayların olasılığını hesaplarken, olayların olasılıkları toplanır.
Formül:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
- 💡 Açıklama: A veya B olayının gerçekleşme olasılığı, A olayının olasılığı ile B olayının olasılığının toplamına eşittir.
Örnek Soru:
Bir torbada 3 kırmızı ve 5 mavi bilye vardır. Torbadan rastgele bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin kırmızı veya mavi olma olasılığı nedir?
Çözüm:
- 🔴 Kırmızı olma olasılığı: $P(K) = \frac{3}{8}$
- 🔵 Mavi olma olasılığı: $P(M) = \frac{5}{8}$
- Kırmızı veya mavi olma olasılığı: $P(K \cup M) = P(K) + P(M) = \frac{3}{8} + \frac{5}{8} = \frac{8}{8} = 1$
⛓️ Bağımsız Olaylar Nedir?
Bağımsız olaylar, birinin gerçekleşip gerçekleşmemesi diğerinin gerçekleşme olasılığını etkilemeyen olaylardır.
- 🪁 Örnek: Bir madeni parayı iki kez atmak. İlk atışın sonucu, ikinci atışın sonucunu etkilemez.
- 🎲 Örnek: Bir zarı iki kez atmak. İlk atışta 6 gelmesi, ikinci atışta 6 gelme olasılığını değiştirmez.
Matematiksel İfade:
Eğer A ve B bağımsız olaylar ise, $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$'dir. Yani, A ve B olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı, A olayının olasılığı ile B olayının olasılığının çarpımına eşittir.
✖️ Bağımsız Olayların Olasılığı Nasıl Hesaplanır?
Bağımsız olayların olasılığını hesaplarken, olayların olasılıkları çarpılır.
Formül:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
- 💡 Açıklama: A ve B olayının birlikte gerçekleşme olasılığı, A olayının olasılığı ile B olayının olasılığının çarpımına eşittir.
Örnek Soru:
Bir madeni para iki kez atılıyor. İkisinde de yazı gelme olasılığı nedir?
Çözüm:
- 🪙 İlk atışta yazı gelme olasılığı: $P(Y_1) = \frac{1}{2}$
- 🪙 İkinci atışta yazı gelme olasılığı: $P(Y_2) = \frac{1}{2}$
- İkisinde de yazı gelme olasılığı: $P(Y_1 \cap Y_2) = P(Y_1) \cdot P(Y_2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
❓ Ayrık ve Bağımsız Olaylar Arasındaki Fark Nedir?
- ⛔ Ayrık Olaylar: Aynı anda gerçekleşemezler.
- ✅ Bağımsız Olaylar: Birinin gerçekleşmesi diğerini etkilemez.
Önemli Not:
Ayrık olaylar bağımsız olamazlar. Çünkü birinin gerçekleşmesi, diğerinin gerçekleşme olasılığını sıfıra indirir. Bağımsız olaylar ise ayrık olmak zorunda değildir.
