10. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Fonksiyonların Nitel Özellikleri Test 2

p(x) = x³ - 6x² + 9x + 2 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun mutlak minimum değeri aşağıdaki aralıkların hangisinde bulunur?

A) (-∞, 0]
B) [0, 2]
C) [2, 4]
D) [4, ∞)

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, verilen bir fonksiyonun mutlak minimum değerini bulmamız ve bu değerin hangi aralıkta yer aldığını belirlememiz isteniyor. Bir fonksiyonun mutlak minimum değeri, o fonksiyonun tanım kümesinde alabileceği en küçük değerdir. Hadi adım adım bu soruyu çözelim.

• 1. Fonksiyonu Tanımlama:

  Bize verilen fonksiyon $p(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ şeklindedir. Bu, üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonudur.

• 2. Mutlak Minimum Değeri Kavramını Anlama:

  Bir fonksiyonun mutlak minimum değeri, tanım kümesindeki en küçük fonksiyon değeridir. Polinom fonksiyonlarının tanım kümesi genellikle tüm reel sayılar kümesidir, yani $(-\infty, \infty)$. Bu tür sınırsız bir tanım kümesinde mutlak minimum değeri bulmak için, fonksiyonun uç noktalardaki (yani $x \to \infty$ ve $x \to -\infty$ iken) davranışını incelememiz gerekir.

• 3. Fonksiyonun Uç Nokta Davranışını İnceleme:

  Bir kübik fonksiyonun uç nokta davranışını belirlemek için, en yüksek dereceli terimine bakarız. Fonksiyonumuz $p(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ ve en yüksek dereceli terim $x^3$'tür.

  • $x \to \infty$ iken: $x$ çok büyük pozitif değerler aldığında, $x^3$ terimi diğer terimlere göre çok daha hızlı büyür ve fonksiyonun değerini domine eder. Bu durumda, $p(x)$ de pozitif sonsuza yaklaşır. Yani, $\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty$.
  • $x \to -\infty$ iken: $x$ çok büyük negatif değerler aldığında, $x^3$ terimi negatif sonsuza gider (çünkü tek kuvvettir). Bu durumda, $p(x)$ de negatif sonsuza yaklaşır. Yani, $\lim_{x \to -\infty} p(x) = -\infty$.
• 4. Mutlak Minimum Değerini Belirleme:

  Fonksiyonun $x \to -\infty$ iken $p(x) \to -\infty$ olduğunu gördük. Bu, fonksiyonun alabileceği belirli bir en küçük değerin olmadığı, yani fonksiyonun değerlerinin negatif sonsuza kadar küçülebileceği anlamına gelir. Dolayısıyla, bu fonksiyonun tüm reel sayılar üzerindeki mutlak minimum değeri $-\infty$'dur.

  Bazı durumlarda, "mutlak minimum" terimi yerel minimum için kullanılabilir, ancak bu fonksiyonun genel davranışı göz önüne alındığında, mutlak minimum değeri $-\infty$ olarak kabul etmek matematiksel olarak daha doğrudur.

• 5. Mutlak Minimum Değerinin Hangi Aralıkta Bulunduğunu Belirleme:

  Mutlak minimum değerimiz $-\infty$'dur. Şimdi bu değerin hangi aralıkta bulunduğunu seçenekler arasından kontrol edelim:

  • A) $(-\infty, 0]$: Bu aralık, $-\infty$ değerini içerir. Çünkü $(-\infty, 0]$ demek, $0$ ve $0$'dan küçük tüm sayıları ve $-\infty$'u kapsayan bir aralıktır.
  • B) $[0, 2]$: Bu aralık, $-\infty$ değerini içermez.
  • C) $[2, 4]$: Bu aralık, $-\infty$ değerini içermez.
  • D) $[4, \infty)$: Bu aralık, $-\infty$ değerini içermez.

  Bu durumda, fonksiyonun mutlak minimum değeri olan $-\infty$, A seçeneğindeki $(-\infty, 0]$ aralığında bulunur.

Cevap A seçeneğidir.