Mutlak değer fonksiyonunun türevi Test 2

f(x) = |cos(x)| fonksiyonunun x = π/2 noktasındaki türevi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Türevi 0'dır
B) Türevi 1'dir
C) Türevi -1'dir
D) Türevi yoktur

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, mutlak değer içeren bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevini inceleyeceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = |\cos(x)|$ ve türevini $x = \pi/2$ noktasında arıyoruz. Bu tür sorular, türev kavramının temelini anlamak için çok önemlidir.

• Adım 1: Fonksiyonu ve İnceleme Noktasını Anlamak

Verilen fonksiyon $f(x) = |\cos(x)|$. Türevini aradığımız nokta ise $x = \pi/2$. Mutlak değer fonksiyonunun türevini alırken, mutlak değerin içindeki ifadenin işaretini incelememiz gerekir. Çünkü mutlak değer fonksiyonu, içindeki ifadenin işaretine göre farklı tanımlara sahiptir.

• Adım 2: Mutlak Değer İçindeki İfadenin İşaretini Belirlemek

Mutlak değerin içindeki ifade $\cos(x)$'tir. $x = \pi/2$ noktasının çevresinde $\cos(x)$'in işaretini inceleyelim:

• $x < \pi/2$ (örneğin $x = \pi/3$) için $\cos(x) > 0$ (pozitif).
• $x = \pi/2$ noktasında $\cos(\pi/2) = 0$.
• $x > \pi/2$ (örneğin $x = 2\pi/3$) için $\cos(x) < 0$ (negatif).

Bu durumda, $f(x)$ fonksiyonunu $x = \pi/2$ noktasının yakınında şu şekilde yazabiliriz:

• $x < \pi/2$ için $f(x) = \cos(x)$ (çünkü $\cos(x) \ge 0$).
• $x > \pi/2$ için $f(x) = -\cos(x)$ (çünkü $\cos(x) < 0$).
• Adım 3: Sürekliliği Kontrol Etmek

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için öncelikle o noktada sürekli olması gerekir. Sürekliliği kontrol edelim:

• $f(\pi/2) = |\cos(\pi/2)| = |0| = 0$.
• Sol limit: $\lim_{x \to (\pi/2)^-} f(x) = \lim_{x \to (\pi/2)^-} \cos(x) = \cos(\pi/2) = 0$.
• Sağ limit: $\lim_{x \to (\pi/2)^+} f(x) = \lim_{x \to (\pi/2)^+} (-\cos(x)) = -\cos(\pi/2) = 0$.

Gördüğümüz gibi, $f(\pi/2) = \lim_{x \to \pi/2} f(x) = 0$ olduğundan, fonksiyon $x = \pi/2$ noktasında süreklidir. Bu, türevlenebilirlik için gerekli bir koşuldur ancak yeterli değildir.

• Adım 4: Sol ve Sağ Türevleri Hesaplamak

Bir fonksiyonun bir noktada türevinin var olabilmesi için, o noktadaki sol türevinin sağ türevine eşit olması gerekir. Türev tanımını kullanarak her iki tarafı da hesaplayalım:

• Sol Türev ($f'(\pi/2^-)$):

$f'(\pi/2^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(\pi/2 + h) - f(\pi/2)}{h}$

$h < 0$ olduğunda $\pi/2 + h < \pi/2$ olur, bu yüzden $f(\pi/2 + h) = \cos(\pi/2 + h)$ kullanırız. Ayrıca $f(\pi/2) = 0$ olduğunu biliyoruz.

$f'(\pi/2^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{\cos(\pi/2 + h) - 0}{h}$

Trigonometrik özdeşlik $\cos(\pi/2 + h) = -\sin(h)$ kullanırsak:

$f'(\pi/2^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{-\sin(h)}{h}$

Limitin temel özelliklerinden $\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1$ olduğunu biliyoruz. Bu durumda:

$f'(\pi/2^-) = -1$.

• Sağ Türev ($f'(\pi/2^+)$):

$f'(\pi/2^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(\pi/2 + h) - f(\pi/2)}{h}$

$h > 0$ olduğunda $\pi/2 + h > \pi/2$ olur, bu yüzden $f(\pi/2 + h) = -\cos(\pi/2 + h)$ kullanırız. Yine $f(\pi/2) = 0$ olduğunu biliyoruz.

$f'(\pi/2^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{-\cos(\pi/2 + h) - 0}{h}$

Trigonometrik özdeşlik $\cos(\pi/2 + h) = -\sin(h)$ kullanırsak:

$f'(\pi/2^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{-(-\sin(h))}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\sin(h)}{h}$

Yine $\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1$ olduğundan:

$f'(\pi/2^+) = 1$.

• Adım 5: Sonucu Değerlendirmek

Sol türev $f'(\pi/2^-) = -1$ ve sağ türev $f'(\pi/2^+) = 1$ bulduk. Sol türev sağ türeve eşit değildir ($-1 \ne 1$).

Bu durum, $f(x) = |\cos(x)|$ fonksiyonunun $x = \pi/2$ noktasında türevinin olmadığını gösterir. Geometrik olarak düşündüğümüzde, bu noktada fonksiyonun grafiğinde "köşe" veya "kırılma" (cusp) olduğunu söyleyebiliriz. Bir fonksiyonun grafiğinde sivri bir köşe varsa, o noktada türev yoktur.

Cevap D seçeneğidir.