Bir banka hesabındaki paranın yıllara göre değişimi M(t) = log(kt+12) fonksiyonu ile modellenmiştir. Fonksiyon t=0 anında tanımlı olduğuna göre, k için aşağıdakilerden hangisi doğru olabilir?
A) k = -10Sevgili öğrenciler, bu problemde bir banka hesabındaki para miktarını modelleyen bir logaritma fonksiyonu verilmiş ve fonksiyonun tanımlı olması gereken bir durum üzerinden k sabiti için doğru seçeneği bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
1. Logaritma Fonksiyonunun Tanım Kümesini Hatırlayalım:
Bir logaritma fonksiyonunun, örneğin $f(x) = \log(x)$ şeklinde bir fonksiyonun tanımlı olabilmesi için logaritmanın içindeki ifadenin (argümanın) kesinlikle pozitif olması gerekir. Yani, $x > 0$ olmalıdır. Eğer logaritmanın içi sıfır veya negatif olursa, fonksiyon reel sayılarda tanımlı olmaz.
2. Fonksiyonumuzu İnceleyelim:
Bize verilen fonksiyon $M(t) = \log(kt+12)$ şeklindedir. Yukarıdaki kurala göre, bu fonksiyonun tanımlı olabilmesi için logaritmanın içindeki ifade olan $kt+12$ değerinin pozitif olması gerekir. Yani, şu eşitsizliğin sağlanması zorunludur:
$kt+12 > 0$
3. $t=0$ Anındaki Durumu Değerlendirelim:
Soruda, fonksiyonun $t=0$ anında tanımlı olduğu belirtilmiştir. Bu bilgiyi kullanarak yukarıdaki eşitsizliği $t=0$ için kontrol etmeliyiz. $t=0$ değerini eşitsizlikte yerine yazalım:
$k(0)+12 > 0$
4. $k$ İçin Gerekli Koşulu Bulalım:
Eşitsizliği basitleştirdiğimizde şunu elde ederiz:
$0+12 > 0$
$12 > 0$
Bu eşitsizlik, $12$ sayısının $0$'dan büyük olduğunu ifade eder ki bu her zaman doğru bir ifadedir. Bu durumda, sadece $t=0$ anında fonksiyonun tanımlı olması koşulu, $k$ üzerinde herhangi bir kısıtlama ortaya çıkarmamıştır. Yani, $k$ için verilen seçeneklerden herhangi biri bu özel koşulu sağlar.
Ancak, bu tür finansal modellerde genellikle fonksiyonun sadece $t=0$ anında değil, aynı zamanda zamanın ilerlemesiyle ($t \ge 0$) de tanımlı ve anlamlı kalması beklenir. Bu nedenle, $kt+12 > 0$ koşulunun tüm $t \ge 0$ değerleri için sağlanması arzu edilir. Bu örtük beklentiye göre seçenekleri değerlendirelim.
5. Seçenekleri Değerlendirelim:
Fonksiyonun tüm $t \ge 0$ değerleri için tanımlı olması (yani $kt+12 > 0$ eşitsizliğinin sağlanması) beklentisiyle seçenekleri inceleyelim:
A) $k = -10$: Eğer $k=-10$ olsaydı, eşitsizlik $-10t+12 > 0$ olurdu. Bu durumda $12 > 10t$, yani $t < 1.2$ olurdu. Bu, $t=1.2$ veya daha büyük değerler için fonksiyonun tanımlı olmayacağı anlamına gelir. Banka hesabındaki paranın bir süre sonra tanımsız hale gelmesi gerçekçi değildir. Bu nedenle $k=-10$ olamaz.
B) $k = -5$: Eğer $k=-5$ olsaydı, eşitsizlik $-5t+12 > 0$ olurdu. Bu durumda $12 > 5t$, yani $t < 2.4$ olurdu. Bu da $t=2.4$ veya daha büyük değerler için fonksiyonun tanımlı olmayacağı anlamına gelir. Bu nedenle $k=-5$ olamaz.
C) $k = 0$: Eğer $k=0$ olsaydı, eşitsizlik $0 \cdot t + 12 > 0$ olurdu. Bu da $12 > 0$ anlamına gelir ki bu eşitsizlik her zaman doğrudur. Yani $k=0$ durumunda fonksiyon her $t \ge 0$ için tanımlı olurdu. $M(t) = \log(12)$ olurdu, yani para miktarı zamanla değişmez, sabit kalırdı.
D) $k = 5$: Eğer $k=5$ olsaydı, eşitsizlik $5t+12 > 0$ olurdu. $t \ge 0$ olduğu için $5t \ge 0$ ve dolayısıyla $5t+12 \ge 12$ olur. Bu da her zaman $0$'dan büyük bir değerdir. Yani $k=5$ durumunda fonksiyon her $t \ge 0$ için tanımlı olurdu. $M(t) = \log(5t+12)$ olurdu, yani para miktarı zamanla artardı.
Hem $k=0$ hem de $k=5$ durumunda fonksiyon $t \ge 0$ için tanımlıdır. Ancak banka hesabındaki paranın zamanla artması (faiz, yatırım vb. nedenlerle pozitif bir $k$ değeri ile) daha gerçekçi ve beklenen bir senaryodur. Ayrıca, genellikle bu tür çoktan seçmeli sorularda, seçenekler arasında en uygun ve genel geçerli olanı seçilir. Bu durumda, $k=5$ seçeneği, fonksiyonun hem tanımlı kalmasını hem de zamanla bir değişim (artış) göstermesini sağladığı için en uygun seçenek olarak kabul edilir.
Cevap D seçeneğidir.
