Bu soru, istatistikteki temel kavramlardan biri olan varyansın alternatif bir hesaplama formülünü anlamamızı gerektiriyor. Adım adım inceleyelim:
-
Öncelikle soruda geçen ifadeleri matematiksel olarak tanımlayalım:
- Bir veri setindeki değerler $x_1, x_2, ..., x_n$ olsun.
- Bu veri setinin ortalaması (aritmetik ortalama) $\mu$ ile gösterilir ve $\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ şeklinde hesaplanır.
- Değerlerin karelerinin ortalaması: Veri setindeki her bir değerin karesini alıp, bu karelerin ortalamasını bulmaktır. Yani $\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}{n}$.
- Ortalamanın karesi: Veri setinin ortalamasını bulduktan sonra, bu ortalamanın karesini almaktır. Yani $\left(\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\right)^2 = \mu^2$.
-
Soru bizden bu iki ifade arasındaki farkı istiyor: $\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}{n} - \mu^2$.
-
Şimdi istatistikteki temel bir yayılım ölçüsü olan varyansın tanımını hatırlayalım. Varyans ($\sigma^2$), bir veri setindeki değerlerin aritmetik ortalamadan ne kadar saptığını gösteren bir ölçüdür. Genellikle şu formülle hesaplanır:
- $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}$
-
Bu varyans formülünü cebirsel olarak açarak, sorudaki ifadeye ulaşıp ulaşamayacağımıza bakalım:
- $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}$
- Önce parantez içindeki ifadeyi açalım: $(x_i - \mu)^2 = x_i^2 - 2x_i\mu + \mu^2$.
- Formülü yeniden yazalım: $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i^2 - 2x_i\mu + \mu^2)}{n}$
- Toplam sembolünü dağıtalım: $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \sum_{i=1}^{n} 2x_i\mu + \sum_{i=1}^{n} \mu^2}{n}$
- Sabitleri (2 ve $\mu$) toplam sembolünün dışına alalım. Ayrıca, $\sum_{i=1}^{n} \mu^2$ ifadesi, $\mu^2$'nin $n$ kez toplanması anlamına geldiği için $n\mu^2$ olur:
- $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}{n} - \frac{2\mu \sum_{i=1}^{n} x_i}{n} + \frac{n\mu^2}{n}$
- Ortalama tanımına göre $\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ olduğundan, $\sum_{i=1}^{n} x_i = n\mu$ yazabiliriz. Bu ifadeyi yerine koyalım:
- $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}{n} - \frac{2\mu (n\mu)}{n} + \mu^2$
- İfadeleri sadeleştirelim: $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}{n} - 2\mu^2 + \mu^2$
- Son olarak: $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}{n} - \mu^2$
-
Gördüğümüz gibi, varyansın ($\sigma^2$) cebirsel olarak açılmış hali, tam olarak soruda istenen "değerlerin karelerinin ortalaması ile ortalamanın karesi arasındaki fark" ifadesine eşittir.
-
Diğer seçenekleri kısaca değerlendirelim:
- A) Standart sapma: Varyansın kareköküdür ($\sigma = \sqrt{\sigma^2}$).
- C) Değişim aralığı: Veri setindeki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır (Maksimum - Minimum).
- D) Ortalama mutlak sapma: Her bir değerin ortalamadan farkının mutlak değerlerinin ortalamasıdır ($\frac{\sum_{i=1}^{n} |x_i - \mu|}{n}$).
Bu nedenle, verilen ifade varyansın bir diğer hesaplama yöntemini temsil eder.
Cevap B seçeneğidir.
