Bir ABC üçgeninde, BC kenarı üzerinde bir D noktası işaretleniyor. AD doğru parçası çizildiğinde, BD uzunluğu DC uzunluğunun 2 katı oluyor (yani $BD = 2DC$). Eğer ABC üçgeninin alanı 90 $cm^2$ ise, ABD üçgeninin alanı kaç $cm^2$'dir?
A) 30Merhaba öğrenciler, bu geometri sorusunu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim.
Üçgenin alanı, taban uzunluğu ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Yani, Alan = $\frac{1}{2} \cdot taban \cdot yükseklik$. Aynı yüksekliğe sahip üçgenlerin alanları, taban uzunlukları ile doğru orantılıdır.
ABC üçgeninde, BC kenarı üzerinde bir D noktası var ve $BD = 2DC$. Bu, BD uzunluğunun DC uzunluğunun iki katı olduğu anlamına gelir. Ayrıca, ABC üçgeninin alanı 90 $cm^2$ olarak verilmiş.
BC kenarını düşünelim. $BD = 2DC$ ise, BC kenarı 3 eşit parçaya ayrılmış demektir. Yani, $BD = \frac{2}{3}BC$ ve $DC = \frac{1}{3}BC$.
ABD üçgeni ve ADC üçgeni aynı yüksekliğe sahiptir (A noktasından BC kenarına çizilen yükseklik). Bu nedenle, alanları taban uzunlukları ile orantılıdır. ABD üçgeninin tabanı BD ve ADC üçgeninin tabanı DC'dir. $BD = 2DC$ olduğundan, ABD üçgeninin alanı, ADC üçgeninin alanının iki katıdır.
ABC üçgeninin alanı 90 $cm^2$ ve bu alan ABD ve ADC üçgenlerinin alanlarının toplamına eşit. ABD üçgeninin alanına 2x ve ADC üçgeninin alanına x dersek, $2x + x = 90$ olur. Bu durumda, $3x = 90$ ve $x = 30$ olur. ADC üçgeninin alanı 30 $cm^2$'dir. ABD üçgeninin alanı ise $2x = 2 \cdot 30 = 60$ $cm^2$'dir.
ABD üçgeninin alanı 60 $cm^2$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
