Bir ABC üçgeninde, AC kenarı üzerinde bir D noktası ve BC kenarı üzerinde bir E noktası bulunmaktadır. AD uzunluğu DC uzunluğunun 2 katıdır ($AD = 2DC$) ve E noktası BC kenarının orta noktasıdır. Eğer ABC üçgeninin alanı 120 $cm^2$ ise, ADE üçgeninin alanı kaç $cm^2$'dir?
A) 20Merhaba öğrenciler, bu güzel geometri sorusunu adım adım çözelim. Üçgenlerin alanları arasındaki ilişkiyi kullanarak sonuca ulaşacağız.
Öncelikle, aynı yüksekliğe sahip üçgenlerin alanlarının, taban uzunluklarıyla orantılı olduğunu hatırlayalım. Bu bilgiyi soruyu çözerken kullanacağız.
Soruda $AD = 2DC$ bilgisi verilmiş. Bu, AD uzunluğunun DC uzunluğunun iki katı olduğu anlamına gelir. ABC üçgeninin alanını kullanarak ADC üçgeninin alanını bulabiliriz. ABC üçgeninin tabanı AC olarak düşünülürse, AC tabanı üzerinde D noktası var ve $AD = 2DC$ olduğundan $AC = AD + DC = 2DC + DC = 3DC$ olur. Bu durumda $DC = \frac{1}{3}AC$ ve $AD = \frac{2}{3}AC$ olur. ABC ve ADC üçgenlerinin yükseklikleri aynı olduğundan, alanları tabanları ile orantılıdır. Bu durumda:
$\frac{Alan(ADC)}{Alan(ABC)} = \frac{DC}{AC} = \frac{\frac{1}{3}AC}{AC} = \frac{1}{3}$
Buradan $Alan(ADC) = \frac{1}{3} \cdot Alan(ABC) = \frac{1}{3} \cdot 120 = 40 \ cm^2$ bulunur.
Şimdi de ADE üçgeninin alanını bulalım. E noktası BC'nin orta noktası olduğundan, BE = EC'dir. Bu durumda, ABE ve ACE üçgenlerinin alanları eşittir ve ABC üçgeninin alanının yarısıdır. Ancak bu bilgi direkt olarak ADE üçgeninin alanını bulmamıza yardımcı olmuyor. Bunun yerine, ADC üçgenini ve E noktasının BC üzerindeki konumunu kullanarak ADE üçgeninin alanını bulacağız.
ADC üçgeninde, E noktası BC'nin orta noktası olduğundan, DEC üçgeninin alanı, ADC üçgeninin alanının yarısıdır. Çünkü DEC ve ADC üçgenlerinin yükseklikleri aynıdır (D noktasından AC'ye çizilen dikme) ve tabanları EC ve BC'dir. EC = BC/2 olduğundan, Alan(DEC) = Alan(DBC)/2 olacaktır. Ancak biz Alan(ADC)'yi biliyoruz. Alan(ADE)'yi bulmak için, Alan(ADC) - Alan(DEC) işlemini yapacağız.
Alan(DEC)'yi bulmak için, öncelikle Alan(DBC)'yi bulmalıyız. Alan(ABC) = 120 ve Alan(ADC) = 40 olduğundan, Alan(ABD) = Alan(ABC) - Alan(ADC) = 120 - 40 = 80'dir. E noktası BC'nin orta noktası olduğundan, Alan(ABE) = Alan(AEC) = 120/2 = 60'tır. Şimdi Alan(DEC)'yi bulabiliriz. Alan(DEC) = Alan(AEC) - Alan(ADE) = Alan(BEC). Alan(BEC) = Alan(ABC)/2 = 60. Alan(DEC) = Alan(BEC) - Alan(BDE). Alan(BDE)'yi bulmak için, Alan(ABD)'yi kullanabiliriz. Alan(ABD) = 80 ve E noktası BC'nin orta noktası olduğundan, Alan(BDE) = Alan(ABD)/2 = 40. Bu durumda, Alan(DEC) = Alan(BEC) - Alan(BDE) = 60 - 40 = 20'dir.
Son olarak, Alan(ADE) = Alan(ADC) - Alan(DEC) = 40 - 20 = 20 $cm^2$'dir.
ADE üçgeninin alanı 40 $cm^2$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
