\( a \in [-3, 2] \) ve \( b \in [1, 4] \) olmak üzere \( \frac{a}{b} \) ifadesinin alabileceği en geniş değer aralığı nedir?
A) [-3, 2]
B) [-1.5, 2]
C) [-3, 4]
D) [-2, 3]
Adım 1: Verilen aralıkları ve istenen ifadeyi anlama.
- Bize $a$ ve $b$ değişkenleri için belirli aralıklar verilmiştir: $a \in [-3, 2]$ ve $b \in [1, 4]$.
- Bu, $a$ sayısının $-3$ ile $2$ arasında ($-3$ ve $2$ dahil) herhangi bir değer alabileceği anlamına gelir. Matematiksel olarak bunu $-3 \le a \le 2$ şeklinde ifade ederiz.
- Benzer şekilde, $b$ sayısının $1$ ile $4$ arasında ($1$ ve $4$ dahil) herhangi bir değer alabileceği anlamına gelir. Yani, $1 \le b \le 4$.
- Bizden istenen, $\frac{a}{b}$ ifadesinin alabileceği en geniş değer aralığını bulmaktır. Bunun için $\frac{a}{b}$ ifadesinin minimum (en küçük) ve maksimum (en büyük) değerlerini bulmamız gerekir.
Adım 2: Payda ($b$) değerinin işaretini inceleme.
- $b \in [1, 4]$ aralığında olduğu için, $b$ her zaman pozitif bir sayıdır ($1 \le b \le 4$).
- Payda pozitif olduğu için, $\frac{a}{b}$ ifadesinin işareti tamamen pay ($a$) değerinin işaretine bağlı olacaktır. Eğer $a$ negatifse kesir negatif, $a$ pozitifse kesir pozitif olacaktır.
Adım 3: $\frac{a}{b}$ ifadesinin minimum değerini bulma.
- Bir kesrin değerinin minimum (en küçük, en negatif) olabilmesi için, payın mümkün olduğunca küçük (en negatif) ve paydanın da mümkün olduğunca küçük (en pozitif) olması gerekir. Paydanın küçük olması, kesrin mutlak değerini büyütecektir.
- $a$ için en küçük değer $-3$'tür.
- $b$ için en küçük pozitif değer $1$'dir.
- Bu durumda, $\frac{a}{b}$ ifadesinin minimum değeri $\frac{-3}{1} = -3$ olur.
Adım 4: $\frac{a}{b}$ ifadesinin maksimum değerini bulma.
- Bir kesrin değerinin maksimum (en büyük, en pozitif) olabilmesi için, payın mümkün olduğunca büyük (en pozitif) ve paydanın da mümkün olduğunca küçük (en pozitif) olması gerekir. Paydanın küçük olması, kesrin mutlak değerini büyütecektir.
- $a$ için en büyük değer $2$'dir.
- $b$ için en küçük pozitif değer $1$'dir.
- Bu durumda, $\frac{a}{b}$ ifadesinin maksimum değeri $\frac{2}{1} = 2$ olur.
Adım 5: Değer aralığını belirleme.
- Yukarıdaki adımlarda bulduğumuz minimum ve maksimum değerleri birleştirerek, $\frac{a}{b}$ ifadesinin alabileceği en geniş değer aralığını belirleyebiliriz.
- Minimum değer $-3$ ve maksimum değer $2$ olduğuna göre, $\frac{a}{b}$ ifadesinin alabileceği değer aralığı $[-3, 2]$'dir.
Cevap A seçeneğidir.
