Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, gerçek sayılarda tanımlı bir $f$ fonksiyonunun $f(-x) = f(x)$ eşitliğini sağladığı belirtiliyor. Bu eşitlik, fonksiyonun çift fonksiyon olduğunu gösterir. Şimdi verilen ifadeleri tek tek inceleyelim:
- I. İfade: $f(3) = f(-3)$
- Bize verilen temel eşitlik $f(-x) = f(x)$ şeklindedir.
- Bu eşitlikte $x$ yerine $3$ yazarsak, $f(-3) = f(3)$ sonucunu elde ederiz.
- Bu ifade, fonksiyonun tanımından doğrudan geldiği için her zaman doğrudur.
- II. İfade: $f(0) = 0$
- Yine temel eşitliğimiz $f(-x) = f(x)$'tir.
- Bu eşitlikte $x$ yerine $0$ yazarsak, $f(-0) = f(0)$ elde ederiz.
- $-0$ zaten $0$ olduğu için, bu eşitlik $f(0) = f(0)$ şeklini alır. Bu eşitlik bize $f(0)$'ın değerini söylemez, sadece $f(0)$'ın kendisine eşit olduğunu belirtir.
- Örneğin, $f(x) = x^2 + 5$ fonksiyonunu düşünelim. Bu fonksiyon için $f(-x) = (-x)^2 + 5 = x^2 + 5 = f(x)$ eşitliği sağlanır, yani çift fonksiyondur. Ancak $f(0) = 0^2 + 5 = 5$'tir, yani $f(0)$ sıfır değildir.
- Başka bir örnek olarak $f(x) = \cos(x)$ fonksiyonunu ele alalım. $f(-x) = \cos(-x) = \cos(x) = f(x)$ olduğu için çift fonksiyondur. Fakat $f(0) = \cos(0) = 1$'dir, yani $f(0)$ sıfır değildir.
- Bu nedenle, $f(0)$'ın her zaman $0$ olması gerekmez. Bu ifade her zaman doğru değildir.
- III. İfade: Grafik y eksenine göre simetriktir
- Bir fonksiyonun grafiğinin y eksenine göre simetrik olması demek, grafiğin üzerindeki her $(x, y)$ noktası için $(-x, y)$ noktasının da grafiğin üzerinde olması demektir.
- $f(-x) = f(x)$ eşitliği de tam olarak bunu ifade eder: $x$ noktasındaki fonksiyon değeri ile $-x$ noktasındaki fonksiyon değeri aynıdır. Yani, $(x, f(x))$ noktası grafikteyse, $(-x, f(-x))$ noktası da grafikte olup, $f(-x) = f(x)$ olduğundan bu nokta $(-x, f(x))$ olur.
- Bu, çift fonksiyonların tanımı ve grafiksel özelliğidir. Bu ifade her zaman doğrudur.
Sonuç olarak, I. ve III. ifadeler her zaman doğruyken, II. ifade her zaman doğru değildir.
Cevap C seçeneğidir.
