Kenarlar verildi, açı nasıl bulurum? Test 3

Kenar uzunlukları 7 cm, 24 cm ve 25 cm olan bir üçgenin en küçük açısını bulmak için hangi trigonometrik oran kullanılmalıdır?

A) Sinüs
B) Kosinüs
C) Tanjant
D) Kotanjant

Kenar uzunlukları 7 cm, 24 cm ve 25 cm olan bir üçgenin en küçük açısını bulmak için hangi trigonometrik oranın kullanılması gerektiğini adım adım inceleyelim:

• 1. En Küçük Açıyı Belirleme Prensibi: Bir üçgende, en küçük açı her zaman en kısa kenarın karşısında bulunur. Verilen kenar uzunlukları 7 cm, 24 cm ve 25 cm olduğuna göre, en kısa kenar 7 cm'dir. Dolayısıyla, en küçük açı 7 cm'lik kenarın karşısındaki açıdır.
• 2. Üçgenin Türünü İnceleme (İsteğe Bağlı Ama Faydalı): Bu adım, soruyu çözmek için zorunlu olmasa da, üçgenin özelliklerini anlamak için önemlidir. Kenar uzunlukları $a=7$, $b=24$, $c=25$ olan bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını Pisagor Teoremi ile kontrol edebiliriz: $a^2 + b^2 = c^2$?

  Hesaplayalım:

  $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$

  $25^2 = 625$

  Gördüğümüz gibi, $7^2 + 24^2 = 25^2$ eşitliği sağlanmaktadır. Bu, üçgenin bir dik üçgen olduğunu ve 25 cm'lik kenarın hipotenüs olduğunu gösterir. En küçük açı, 7 cm'lik kenarın karşısındaki açıdır ve bu açı bir dar açıdır.

• 3. Açıyı Bulmak İçin Genel Yöntem: Bir üçgenin tüm kenar uzunlukları bilindiğinde, herhangi bir açısını bulmak için kullanılan en genel ve doğrudan trigonometrik teorem Kosinüs Teoremi'dir.
• 4. Kosinüs Teoremi'nin Uygulanması: Kosinüs Teoremi, bir üçgenin kenarları $a, b, c$ ve bu kenarlara karşılık gelen açılar $A, B, C$ olduğunda şu şekilde ifade edilir:

  $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

  $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

  $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

  Biz en küçük açıyı (7 cm'lik kenarın karşısındaki açı, diyelim ki $A$) bulmak istiyoruz. Bu durumda, $a=7$, $b=24$, $c=25$ değerlerini ilk formülde yerine koyarsak:

  $7^2 = 24^2 + 25^2 - 2 \cdot 24 \cdot 25 \cos A$

  Bu denklemden $\cos A$ değerini çekerek açıyı bulabiliriz:

  $\cos A = \frac{24^2 + 25^2 - 7^2}{2 \cdot 24 \cdot 25}$

  Gördüğünüz gibi, açıyı bulmak için doğrudan kosinüs oranını kullanırız.

• 5. Diğer Oranlar Neden Değil?

  Sinüs Teoremi, genellikle bir kenar ve karşısındaki açı bilindiğinde diğer kenar veya açıları bulmak için kullanılır. Sadece kenar uzunlukları verildiğinde bir açıyı doğrudan bulmak için Kosinüs Teoremi kadar uygun değildir.

  Tanjant ve Kotanjant oranları genellikle dik üçgenlerde karşı ve komşu dik kenarlar arasındaki ilişkiyi ifade eder. Bu üçgen dik üçgen olsa bile, Kosinüs Teoremi herhangi bir üçgende açıyı bulmak için daha genel bir yaklaşımdır ve soruda "hangi trigonometrik oran kullanılmalıdır" ifadesi bu genel yaklaşımı işaret eder.

Bu nedenle, kenar uzunlukları bilinen bir üçgenin açısını bulmak için en uygun ve doğrudan trigonometrik oran Kosinüs'tür.

Cevap B seçeneğidir.