Bir tam sayılı kesrin üssü alınırken ilk yapılması gereken işlem nedir?
A) Üs sadece tam kısma uygulanır
B) Üs sadece kesirli kısma uygulanır
C) Tam sayılı kesir bileşik kesre çevrilir
D) Üs hem tam sayıya hem kesre ayrı ayrı uygulanır
Bir tam sayılı kesrin üssünü alırken, bu işlemi doğru ve hatasız bir şekilde yapabilmek için izlenmesi gereken belirli bir yol vardır. Tam sayılı kesirler, bir tam sayı ile bir basit kesrin birleşiminden oluşur. Örneğin, $2\frac{1}{3}$ bir tam sayılı kesirdir.
- Tam Sayılı Kesrin Yapısı: Bir tam sayılı kesir, tam kısmı ve kesirli kısmı olan bir sayıdır. Üs alma işlemi, sayının tamamına uygulanmalıdır.
- Neden Bileşik Kesre Çevrilmeli? Tam sayılı kesir formunda doğrudan üs almak, matematiksel olarak karmaşık ve hataya açık bir işlemdir. Örneğin, $(2\frac{1}{3})^2$ ifadesinde, üssü hem tam kısma hem de kesirli kısma ayrı ayrı uygulamak (yani $2^2 + (\frac{1}{3})^2$ gibi düşünmek) yanlış bir yaklaşımdır. Çünkü $2\frac{1}{3}$ aslında $2 + \frac{1}{3}$ anlamına gelir ve $(a+b)^n$ ifadesinin açılımı $a^n+b^n$ değildir.
- Bileşik Kesre Çevirme İşlemi: Bir tam sayılı kesri bileşik kesre çevirmek, onu tek bir kesir haline getirir. Örneğin, $2\frac{1}{3}$ kesrini bileşik kesre çevirirken, tam kısım (2) payda (3) ile çarpılır ve pay (1) eklenir. Payda aynı kalır. Yani, $2\frac{1}{3} = \frac{(2 \times 3) + 1}{3} = \frac{7}{3}$ olur.
- Üs Alma İşlemi: Tam sayılı kesir bileşik kesre çevrildikten sonra, üs alma işlemi çok daha basit hale gelir. Artık elimizde $\left(\frac{7}{3}\right)^2$ gibi bir ifade vardır. Bu durumda, üs hem paya hem de paydaya ayrı ayrı uygulanır: $\left(\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{7^2}{3^2} = \frac{49}{9}$. Bu sonuç daha sonra tekrar tam sayılı kesre çevrilebilir: $\frac{49}{9} = 5\frac{4}{9}$.
- Diğer Seçeneklerin Yanlışlığı:
- A) "Üs sadece tam kısma uygulanır" ve B) "Üs sadece kesirli kısma uygulanır" seçenekleri yanlıştır çünkü üs, sayının tamamına uygulanmalıdır, sadece bir kısmına değil.
- D) "Üs hem tam sayıya hem kesre ayrı ayrı uygulanır" seçeneği de yanlıştır. Bu, $(a+b)^n = a^n + b^n$ gibi yanlış bir matematiksel kuralı ima eder. Oysa $(a+b)^n$ ifadesinin açılımı daha karmaşıktır (örneğin, $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$). Tam sayılı kesirler için bu tür bir açılım yapmak yerine, bileşik kesre çevirmek en pratik ve doğru yoldur.
Bu nedenle, bir tam sayılı kesrin üssü alınırken ilk yapılması gereken işlem, tam sayılı kesri bileşik kesre çevirmektir.
Cevap C seçeneğidir.
