Bir dikdörtgenin çevresi 36 cm, alanı 72 cm²'dir. Bu dikdörtgenin kenar uzunlukları kaç cm'dir?
A) 6 ve 12Sevgili öğrenciler, bu tür problemleri çözmek için dikdörtgenin çevre ve alan formüllerini iyi bilmemiz ve verilen bilgileri bu formüllere yerleştirmemiz gerekir. Adım adım ilerleyelim:
Dikdörtgenin çevresi $P = 36$ cm olarak verilmiştir.
Dikdörtgenin alanı $A = 72$ cm² olarak verilmiştir.
Dikdörtgenin kenar uzunlukları $a$ ve $b$ olsun.
Dikdörtgenin çevre formülü: $P = 2(a + b)$
Dikdörtgenin alan formülü: $A = a \times b$
Çevre formülünden: $2(a + b) = 36$ denklemini elde ederiz.
Alan formülünden: $a \times b = 72$ denklemini elde ederiz.
Çevre denkleminden, her iki tarafı 2'ye bölerek kenar uzunluklarının toplamını bulabiliriz:
$a + b = \frac{36}{2}$
$a + b = 18$ (Bu, kenarların toplamıdır.)
Alan denklemi zaten basittir: $a \times b = 72$ (Bu, kenarların çarpımıdır.)
Şimdi elimizde iki bilgi var: Toplamları 18 olan ve çarpımları 72 olan iki sayı arıyoruz. Bu tür problemleri çözmenin birkaç yolu vardır:
Yöntem 1: Deneme Yanılma (Seçenekleri Kullanma)
Seçeneklerdeki sayı çiftlerini deneyerek hem çevre hem de alan koşulunu sağlayan çifti bulabiliriz.
A) 6 ve 12:
Toplamları: $6 + 12 = 18$. Çevre koşulunu sağlıyor, çünkü $2 \times 18 = 36$.
Çarpımları: $6 \times 12 = 72$. Alan koşulunu sağlıyor.
Bu seçenek her iki koşulu da sağladığı için doğru cevaptır.
B) 8 ve 10:
Toplamları: $8 + 10 = 18$. Çevre koşulunu sağlıyor.
Çarpımları: $8 \times 10 = 80$. Alan koşulunu sağlamıyor, çünkü alan 72 olmalıydı.
C) 4 ve 18:
Toplamları: $4 + 18 = 22$. Çevre koşulunu sağlamıyor, çünkü $2 \times 22 = 44$, ama çevre 36 olmalıydı.
D) 9 ve 8:
Toplamları: $9 + 8 = 17$. Çevre koşulunu sağlamıyor, çünkü $2 \times 17 = 34$, ama çevre 36 olmalıydı.
Yöntem 2: Cebirsel Çözüm (Daha genel bir yöntem)
Eğer seçenekler olmasaydı veya daha karmaşık sayılar olsaydı bu yöntemi kullanırdık.
$a + b = 18$ denkleminden $a = 18 - b$ yazabiliriz.
Bu ifadeyi $a \times b = 72$ denkleminde yerine koyalım:
$(18 - b) \times b = 72$
$18b - b^2 = 72$
Denklemi düzenleyelim (tüm terimleri bir tarafa toplayalım):
$b^2 - 18b + 72 = 0$
Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Çarpımları 72, toplamları -18 olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar -6 ve -12'dir.
$(b - 6)(b - 12) = 0$
Buradan $b - 6 = 0$ ise $b = 6$ olur.
Veya $b - 12 = 0$ ise $b = 12$ olur.
Eğer $b = 6$ ise, $a = 18 - 6 = 12$ olur.
Eğer $b = 12$ ise, $a = 18 - 12 = 6$ olur.
Her iki durumda da kenar uzunlukları 6 cm ve 12 cm olarak bulunur.
Gördüğünüz gibi, hem deneme yanılma hem de cebirsel çözüm yöntemleri bizi aynı sonuca ulaştırdı. Dikdörtgenin kenar uzunlukları 6 cm ve 12 cm'dir.
Cevap A seçeneğidir.
