A = {2, 4, 6, 8} kümesi veriliyor. "∀x ∈ A, x çift sayıdır" önermesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Önerme yanlıştır çünkü kümede tek sayı yoktur
B) Önerme doğrudur çünkü kümedeki tüm elemanlar çift sayıdır
C) Önerme yanlıştır çünkü kümedeki bazı elemanlar çift değildir
D) Önerme doğrudur çünkü kümede en az bir çift sayı vardır
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, mantık konusundaki temel kavramlardan biri olan "niceleyiciler" ve kümelerle ilgili bir önermenin doğruluk değerini inceleyeceğiz. Adım adım gidelim:
- Adım 1: Önermeyi ve Sembolleri Anlayalım
- Verilen önerme: "$ \forall x \in A, x $ çift sayıdır".
- Buradaki "$ \forall $" sembolü "her" veya "tüm" anlamına gelir. Bu sembole "evrensel niceleyici" denir.
- Yani, önerme bize "A kümesindeki her $x$ elemanı için, $x$ çift sayıdır" demek istiyor.
- Bir "$ \forall $" önermesinin doğru olabilmesi için, bahsedilen kümedeki tüm elemanların verilen şartı (bu durumda "çift sayı olma" şartını) sağlaması gerekir. Eğer kümede bu şartı sağlamayan tek bir eleman bile varsa, önerme yanlış olur.
- Adım 2: A Kümesinin Elemanlarını İnceleyelim
- Bize verilen küme $A = \{2, 4, 6, 8\}$.
- Şimdi bu kümedeki her bir elemanın "çift sayı" olup olmadığını kontrol edelim:
- $2$: Çift sayıdır.
- $4$: Çift sayıdır.
- $6$: Çift sayıdır.
- $8$: Çift sayıdır.
- Gördüğümüz gibi, A kümesindeki tüm elemanlar çift sayıdır. Kümede tek sayı veya çift olmayan bir sayı bulunmamaktadır.
- Adım 3: Önermenin Doğruluk Değerini Belirleyelim
- Önermemiz "$ \forall x \in A, x $ çift sayıdır" şeklindeydi.
- Biz de A kümesindeki her elemanın (2, 4, 6, 8) gerçekten de çift sayı olduğunu tespit ettik.
- "Her" eleman şartı sağladığı için, bu önerme doğrudur.
- Adım 4: Seçenekleri Değerlendirelim
- A) Önerme yanlıştır çünkü kümede tek sayı yoktur
- Kümede tek sayı olmaması, "tüm elemanlar çift sayıdır" önermesini doğrular, yanlış yapmaz. Bu seçenek yanlıştır.
- B) Önerme doğrudur çünkü kümedeki tüm elemanlar çift sayıdır
- Bizim analizimizle tamamen uyumlu. A kümesindeki tüm elemanlar (2, 4, 6, 8) çift sayıdır ve bu durum "$ \forall x \in A, x $ çift sayıdır" önermesini doğru yapar. Bu seçenek doğrudur.
- C) Önerme yanlıştır çünkü kümedeki bazı elemanlar çift değildir
- Biz A kümesindeki tüm elemanların çift olduğunu bulduk. Yani "bazı elemanlar çift değildir" ifadesi yanlıştır. Bu seçenek de yanlıştır.
- D) Önerme doğrudur çünkü kümede en az bir çift sayı vardır
- Bu seçenek, "$ \exists x \in A, x $ çift sayıdır" (A kümesinde en az bir çift sayı vardır) önermesi için doğru olurdu. Ancak bizim önermemiz "$ \forall $" (her) sembolünü içeriyor. "$ \forall $" önermesinin doğru olması için tüm elemanların şartı sağlaması gerekir, sadece "en az bir" elemanın sağlaması yeterli değildir. Bu nedenle bu seçenek de yanlıştır.
Yaptığımız detaylı incelemeler sonucunda, önermenin doğru olduğunu ve bunun nedeninin kümedeki tüm elemanların çift sayı olması olduğunu gördük.
Cevap B seçeneğidir.
