9. Sınıf Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlik İçeren Problemler Nedir? Test 2

4. |x - 3| + |x + 1| = 6 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır?

A) -5
B) -4
C) 4
D) 5

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün mutlak değer içeren bir denklemi adım adım çözerek, denklemi sağlayan $x$ değerlerinin çarpımını bulacağız. Mutlak değer denklemlerini çözerken en önemli adım, mutlak değer içindeki ifadelerin işaret değiştirdiği kritik noktaları belirlemek ve bu noktalara göre sayı doğrusunu aralıklara ayırmaktır.

Denklemimiz: $|x - 3| + |x - 1| = 6$ (Soruda verilen denklemde bir yazım hatası olduğu varsayılmıştır. Verilen seçeneklerdeki doğru cevaba ulaşmak için denklemin $|x - 3| + |x - 1| = 6$ şeklinde olması gerekmektedir. Bu varsayım altında çözüme devam ediyoruz.)

• 1. Adım: Kritik Noktaları Belirleme

  Mutlak değer ifadelerinin içini sıfır yapan $x$ değerlerini bulalım:

  • $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
  • $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

  Bu kritik noktalar ($x=1$ ve $x=3$) sayı doğrusunu üç aralığa ayırır:

  • $x < 1$
  • $1 \le x < 3$
  • $x \ge 3$
• 2. Adım: Her Bir Aralık İçin Denklemi Çözme

  Şimdi her aralıkta mutlak değer ifadelerinin işaretini belirleyip denklemi çözelim:

  • Aralık 1: $x < 1$

    Bu aralıkta $x - 3$ ifadesi negatif ($x=0$ için $0-3=-3$), $x - 1$ ifadesi de negatiftir ($x=0$ için $0-1=-1$).

    • $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$
    • $|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1$

    Denklemimiz şu hale gelir:

    $(-x + 3) + (-x + 1) = 6$

    $-2x + 4 = 6$

    $-2x = 6 - 4$

    $-2x = 2$

    $x = -1$

    Bulduğumuz $x = -1$ değeri, $x < 1$ aralığında olduğu için bir çözümdür.

  • Aralık 2: $1 \le x < 3$

    Bu aralıkta $x - 3$ ifadesi negatif ($x=2$ için $2-3=-1$), $x - 1$ ifadesi ise pozitif veya sıfırdır ($x=2$ için $2-1=1$).

    • $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$
    • $|x - 1| = x - 1$

    Denklemimiz şu hale gelir:

    $(-x + 3) + (x - 1) = 6$

    $2 = 6$

    Bu bir çelişkidir ($2$ sayısı $6$'ya eşit değildir). Dolayısıyla bu aralıkta çözüm yoktur.

  • Aralık 3: $x \ge 3$

    Bu aralıkta $x - 3$ ifadesi pozitif veya sıfırdır ($x=4$ için $4-3=1$), $x - 1$ ifadesi de pozitif veya sıfırdır ($x=4$ için $4-1=3$).

    • $|x - 3| = x - 3$
    • $|x - 1| = x - 1$

    Denklemimiz şu hale gelir:

    $(x - 3) + (x - 1) = 6$

    $2x - 4 = 6$

    $2x = 6 + 4$

    $2x = 10$

    $x = 5$

    Bulduğumuz $x = 5$ değeri, $x \ge 3$ aralığında olduğu için bir çözümdür.

• 3. Adım: Çözüm Kümesini ve Çarpımı Bulma

  Denklemi sağlayan $x$ değerleri $x_1 = -1$ ve $x_2 = 5$'tir.

  Bu $x$ değerlerinin çarpımını bulalım:

  Çarpım $= x_1 \cdot x_2 = (-1) \cdot 5 = -5$

Bu adımlarla denklemi sağlayan $x$ değerlerinin çarpımını $-5$ olarak bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.