Soru:
Bir sınavda doğru cevaplanan her soru için +4 puan, yanlış cevaplanan her soru için -1 puan verilmektedir. Boş bırakılan sorulara puan verilmemektedir. 25 soruluk bu sınavda Sude'nin netleri hesaplandığında puanı 65 oluyor. Sude'nin doğru sayısı \( d \), yanlış sayısı \( y \) olmak üzere, \( |4d - y - 65| = 0 \) eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre ve \( d + y \leq 25 \) olduğuna göre, Sude'nin kaç farklı \( (d, y) \) ikilisi olabilir?
Çözüm:
💡 Bu problem, bir mutlak değerli denklemi ve bir eşitsizliği bir arada içermektedir. Önce denklemi çözüp, sonra eşitsizliği ve soru sayısı kısıtını uygulayacağız.
- ➡️ Verilen denklem: \( |4d - y - 65| = 0 \). Bir mutlak değerli ifade ancak içi 0 ise 0'a eşittir.
Yani, \( 4d - y - 65 = 0 \) → \( 4d - y = 65 \) → \( y = 4d - 65 \).
- ➡️ \( d \) ve \( y \) birer soru sayısı olduğu için pozitif tam sayı olmalıdır. Ayrıca \( d + y \leq 25 \) ve \( y \geq 0 \) olmalıdır.
- ➡️ \( y = 4d - 65 \geq 0 \) eşitsizliğini çözelim: \( 4d \geq 65 \) → \( d \geq 16.25 \). \( d \) tam sayı olduğundan \( d \geq 17 \).
- ➡️ \( d + y \leq 25 \) eşitsizliğinde \( y \) yerine \( 4d - 65 \) yazalım:
\( d + (4d - 65) \leq 25 \) → \( 5d - 65 \leq 25 \) → \( 5d \leq 90 \) → \( d \leq 18 \).
- ➡️ Sonuç olarak, \( d \) değeri 17 ve 18 olabilir.
\( d = 17 \) için \( y = 4(17) - 65 = 3 \) ve \( d + y = 20 \leq 25 \).
\( d = 18 \) için \( y = 4(18) - 65 = 7 \) ve \( d + y = 25 \leq 25 \).
✅ Sonuç: Sude'nin (doğru, yanlış) ikilisi olarak (17, 3) ve (18, 7) olmak üzere 2 farklı durum mümkündür.
