Soru:
\(|x - 3| + |x + 1| = 6\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
💡 İki mutlak değerli bir denklemde, kritik noktaları (mutlak değerlerin içini sıfır yapan \(x\) değerlerini) bularak sayı doğrusunu bölgelere ayırırız.
- ➡️ Kritik noktalar: \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\) ve \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\)
- ➡️ Sayı doğrusu üç bölgeye ayrılır: I. Bölge: \(x < -1\), II. Bölge: \(-1 \leq x < 3\), III. Bölge: \(x \geq 3\)
- I. Bölge (\(x < -1\)): Bu aralıkta \((x-3)<0\) ve \((x+1)<0\)'dır.
- Mutlak değerler: \(|x-3| = -(x-3) = -x+3\), \(|x+1| = -(x+1) = -x-1\)
- Denklem: \((-x+3) + (-x-1) = 6\)
- \(-2x + 2 = 6\)
- \(-2x = 4\)
- \(x = -2\) (Bu değer, \(x < -1\) bölgesinde olduğu için geçerlidir.)
- II. Bölge (\(-1 \leq x < 3\)): Bu aralıkta \((x-3)<0\) ve \((x+1)\geq0\)'dır.
- Mutlak değerler: \(|x-3| = -(x-3) = -x+3\), \(|x+1| = x+1\)
- Denklem: \((-x+3) + (x+1) = 6\)
- \(4 = 6\) → Bu bir çelişkidir. Bu bölgede çözüm YOKTUR.
- III. Bölge (\(x \geq 3\)): Bu aralıkta \((x-3)\geq0\) ve \((x+1)\geq0\)'dır.
- Mutlak değerler: \(|x-3| = x-3\), \(|x+1| = x+1\)
- Denklem: \((x-3) + (x+1) = 6\)
- \(2x - 2 = 6\)
- \(2x = 8\)
- \(x = 4\) (Bu değer, \(x \geq 3\) bölgesinde olduğu için geçerlidir.)
✅ Sonuç: Denklemi sağlayan \(x\) değerleri \(-2\) ve \(4\)'tür. Çözüm kümesi: \(\{-2, 4\}\)
