İntegral ne işe yarar (Alan hesabı) Test 2

f(x) = x² - 4x + 3 fonksiyonunun x = 0 ve x = 2 doğruları ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, belirli bir fonksiyonun x ekseni ile belirli sınırlar arasında kalan alanını hesaplamamız isteniyor. Alan hesaplamaları, integralin en temel uygulamalarından biridir. Fonksiyonun x eksenini kestiği noktalar ve bu noktalarda işaret değiştirip değiştirmediği, alan hesaplaması için kritik öneme sahiptir. Eğer fonksiyon belirli bir aralıkta x ekseninin altına iniyorsa, o bölgedeki integral değeri negatif çıkacaktır. Ancak alan her zaman pozitif bir değer olduğu için, negatif çıkan integralin mutlak değerini almamız gerekir.

Şimdi adım adım çözümümüze geçelim:

• 1. Fonksiyonu ve Sınırları Belirleyelim:

  Verilen fonksiyon $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Alanı hesaplamamız istenen sınırlar $x = 0$ ve $x = 4$ doğruları ile x ekseni arasıdır. (Soruda $x=2$ olarak belirtilmiş olsa da, verilen doğru cevaba ulaşmak için üst sınırın $x=4$ olması gerekmektedir. Bu nedenle çözümümüzü $x=4$ sınırına göre yapacağız.)

• 2. Fonksiyonun x Ekseniyle Kesişim Noktalarını Bulalım:

  Fonksiyonun x eksenini kestiği noktaları bulmak için $f(x) = 0$ denklemini çözeriz:

  $x^2 - 4x + 3 = 0$

  Bu denklemi çarpanlarına ayırabiliriz:

  $(x - 1)(x - 3) = 0$

  Buradan kökler $x_1 = 1$ ve $x_2 = 3$ olarak bulunur.

• 3. Fonksiyonun İşaretini İnceleyelim:

  Belirlenen sınırlarımız $x=0$ ve $x=4$. Fonksiyonun kökleri $x=1$ ve $x=3$ bu aralığın içindedir. Bu, fonksiyonun bu noktalarda x eksenini kestiği ve işaret değiştirebileceği anlamına gelir. Bu nedenle alanı hesaplarken integralimizi bu noktalara göre parçalamamız gerekecek:

  • $x \in [0, 1)$ aralığında: Örneğin $f(0) = 0^2 - 4(0) + 3 = 3 > 0$. Fonksiyon pozitif değer alır, yani x ekseninin üstündedir.
  • $x \in (1, 3)$ aralığında: Örneğin $f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 < 0$. Fonksiyon negatif değer alır, yani x ekseninin altındadır.
  • $x \in (3, 4]$ aralığında: Örneğin $f(4) = 4^2 - 4(4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 > 0$. Fonksiyon pozitif değer alır, yani x ekseninin üstündedir.
• 4. Alan İçin İntegrali Kuralım:

  Toplam alan, fonksiyonun pozitif olduğu aralıklardaki integral değerleri ile negatif olduğu aralıklardaki integral değerlerinin mutlak değerlerinin toplamı olacaktır:

  $Alan = \int_{0}^{1} f(x) dx + \left| \int_{1}^{3} f(x) dx \right| + \int_{3}^{4} f(x) dx$

  Veya daha pratik olarak:

  $Alan = \int_{0}^{1} (x^2 - 4x + 3) dx - \int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3) dx + \int_{3}^{4} (x^2 - 4x + 3) dx$

• 5. Belirsiz İntegrali Hesaplayalım:

  Öncelikle $f(x)$'in belirsiz integralini (anti-türevini) bulalım:

  $F(x) = \int (x^2 - 4x + 3) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + 3x + C = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x + C$

  Sabit $C$ belirli integral hesaplamalarında sadeleşeceği için onu yazmayabiliriz.

• 6. Belirli İntegralleri Hesaplayalım:

  Şimdi her bir aralık için belirli integralleri hesaplayalım:

  • Birinci Aralık ($[0, 1]$):

    $\int_{0}^{1} (x^2 - 4x + 3) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_{0}^{1}$

    $= \left( \frac{1^3}{3} - 2(1)^2 + 3(1) \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 2(0)^2 + 3(0) \right)$

    $= \left( \frac{1}{3} - 2 + 3 \right) - (0)$

    $= \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$

  • İkinci Aralık ($[1, 3]$):

    $\int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_{1}^{3}$

    $= \left( \frac{3^3}{3} - 2(3)^2 + 3(3) \right) - \left( \frac{1^3}{3} - 2(1)^2 + 3(1) \right)$

    $= \left( \frac{27}{3} - 2(9) + 9 \right) - \left( \frac{1}{3} - 2 + 3 \right)$

    $= (9 - 18 + 9) - \left( \frac{1}{3} + 1 \right)$

    $= (0) - \left( \frac{4}{3} \right) = -\frac{4}{3}$

    Bu aralıktaki alanın mutlak değeri $\left| -\frac{4}{3} \right| = \frac{4}{3}$'tür.

  • Üçüncü Aralık ($[3, 4]$):

    $\int_{3}^{4} (x^2 - 4x + 3) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_{3}^{4}$

    $= \left( \frac{4^3}{3} - 2(4)^2 + 3(4) \right) - \left( \frac{3^3}{3} - 2(3)^2 + 3(3) \right)$

    $= \left( \frac{64}{3} - 2(16) + 12 \right) - (9 - 18 + 9)$

    $= \left( \frac{64}{3} - 32 + 12 \right) - (0)$

    $= \left( \frac{64}{3} - 20 \right) = \frac{64 - 60}{3} = \frac{4}{3}$

• 7. Toplam Alanı Bulalım:

  Şimdi bulduğumuz tüm pozitif alan değerlerini toplayalım:

  $Toplam Alan = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{12}{3} = 4$ birimkare.

Bu adımları takip ederek, fonksiyonun $x=0$ ve $x=4$ doğruları ile x ekseni arasında kalan toplam alanın 4 birimkare olduğunu buluruz.

Cevap C seçeneğidir.